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Sem ser por L'Hospital ou qualquer outra regra de derivação

[tex3]\lim_{x\to 0} \frac{6x-sen2x}{2x+3sen4x}[/tex3]

Olá FNolasco,

Sempre que tiver seno na jogada pense no limite fundamental:
[tex3]\lim_{x\to 0}\frac{sin x}{x}=1[/tex3]

Sabendo disso:
[tex3]\lim_{x\to 0} \frac{6x-sen2x}{2x+3sen4x}=\lim_{x\to 0} \frac{6x-\frac{2}{2}sen2x}{2x+\frac{4}{4}3sen4x}\cdot \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}[/tex3]
[tex3]\lim_{x\to 0} \frac{6-\frac{2sen 2x}{2x}}{2+\frac{12sen4x}{4x}}[/tex3]

Com isso encontramos o limite fundamental:
[tex3]\lim_{x\to 0}\frac{sin 2x}{2x}=1[/tex3]
[tex3]\lim_{x\to 0}\frac{sin 4x}{4x}=1[/tex3]

Logo,
[tex3]\lim_{x\to 0} \frac{6-\frac{2sen 2x}{2x}}{2+\frac{12sen4x}{4x}}=\frac{6-2\cdot1}{2+12\cdot1}=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}[/tex3]

Portanto,
[tex3]\lim_{x\to 0} \frac{6x-sen2x}{2x+3sen4x}=\frac{2}{7}[/tex3]

Abraço.