Ensino Superior ⇒ Algebra Linear - Subespaço Vetorial Tópico resolvido

[biavs]

Verifique o conjunto W é um subespaço de V


V = Pn ([tex3]\mathbb{R}[/tex3]) ; W = {p [tex3]\in[/tex3] Pn ;p(0)=p(1)}


obs: quando digo Pn quero dizer um polinômio de grau n

[Loreto]

Partindo do [tex3]Pn(x) = a0 + a1.x^1 + a2.x^2 + a3.x^3 + ... + a(n-1).x^(n-1) + an.x^n[/tex3]

Temos que mostrar que é W é subespaço, ou seja, temos que mostrar que :

1) O zero pertence ao polinômio;

2) A existência da soma;

3) A existência de multiplicação por escalar.

Assim;

1) [tex3]Pn(0) = a0 + a1.0^1 + a2.0^2 + a3.0^3 + ... + a(n-1).0^(n-1) + an.0^n[/tex3]

[tex3]Pn(0) = a0[/tex3]

A lei da função diz que [tex3]Pn(0) = Pn(1)[/tex3] , logo, [tex3]Pn(1) = a0[/tex3]

Assim, [tex3]Pn(0) = Pn(1)\rightarrow Pn(0) - Pn(1) = a0 - a0 = 0[/tex3] , logo, o zero pertence ao polinômio.

2) Seja [tex3]p1(x)[/tex3] , p2(x) [tex3]\in[/tex3] W, [tex3]\alpha[/tex3] [tex3]\in[/tex3] [tex3]\mathbb{R}[/tex3]

Assim,

[tex3]p1(0)[/tex3] + (-1).[tex3]\alpha[/tex3] [tex3]p2(1) = a0[/tex3] + (-1).[tex3]\alpha[/tex3].a0 =[tex3]0[/tex3]

Logo, tanto a soma como a multiplicação por escalar está presente em [tex3]W[/tex3], ou seja, [tex3]W[/tex3] é subespaço de [tex3]V[/tex3].