Olimpíadas ⇒ (OBM - 2002) Geometria Plana: Quadriláteros Tópico resolvido

[triplebig]

[tex3]ABCD[/tex3] é um quadrilátero convexo e inscritível e [tex3]M[/tex3] é um ponto sobre o lado [tex3]CD,[/tex3] tal que o triângulo [tex3]ADM[/tex3] e o quadrilátero [tex3]ABCM[/tex3] têm a mesma área e o mesmo perímetro. Prove que [tex3]ABCD[/tex3] tem dois lados de comprimentos iguais.

[Marcos Ricardo]

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Hipótese: [tex3]ABCD[/tex3] é quadrilátero convexo e inscritível e [tex3]M[/tex3] é um ponto sobre o lado [tex3]CD[/tex3] tal que o quadrilátero [tex3]ABCM[/tex3] e o triângulo [tex3]ADM[/tex3] possuem mesma área e perímetro.
Tese: [tex3]ABCD[/tex3] tem dois lados congruentes.

Demonstração:

Como o [tex3]ABCD[/tex3] é inscritível, temos [tex3]A\hat{D}C + A\hat{B}C = \pi[/tex3]. Assim, [tex3]\text{sen}A\hat{D}C = \text{sen}A\hat{B}C.\text{ } (1)[/tex3]

Agora usemos a lei dos senos no [tex3]\triangle AMD:[/tex3]

• [tex3]\frac{AM}{\sin A \hat{D} M} = \frac{AD}{\sin A \hat{M} D} \Leftrightarrow \sin A \hat{M} D = \frac{AD \cdot \sin A \hat{D} M}{AM}.[/tex3]

Perceba ainda que

• [tex3]A\hat{M}D + A\hat{M}C = \pi \Rightarrow \text{sen}A\hat{M}D = \text{sen}A\hat{M}C \Leftrightarrow \text{sen}A\hat{M}C = \frac{AD \cdot \text{sen}A\hat{D}M}{AM}.\text{ } (2)[/tex3]

Denotemos área de um polígono por [ ]. Temos:

• [tex3][ABCM] = [ADM] \Leftrightarrow [ABC] + [AMC] = [AMD] \Leftrightarrow[/tex3]

• [tex3]\frac{AB \cdot CD \cdot \text{sen}A\hat{B}C}{2} + \frac{AM \cdot MC \cdot \text{sen}A\hat{M}C}{2} = \frac{AD \cdot MD \cdot \text{sen}A\hat{D}M}{2}.[/tex3]

Substituindo [tex3](1)[/tex3] e [tex3](2)[/tex3] na expressão acima e cancelando os elementos iguais, obtemos:

• [tex3]AB \cdot BC + MC \cdot AD = AD \cdot MD \Leftrightarrow AD \cdot (MD - MC) = AB \cdot BC \Leftrightarrow[/tex3]
  
  [tex3]MD - MC = \frac{AB \cdot BC}{AD}.\text{ } (3)[/tex3]

Os perímetros de [tex3]ABCD[/tex3] e [tex3]AMD[/tex3] são iguais, logo:

• [tex3]AB + BC + CM + AM = AM + AD + MD \Leftrightarrow (MD - MC) = AB + BC - AD \Leftrightarrow[/tex3]
  
  [tex3]\frac{AB \cdot BC}{AD} = AB + BC - AD (3) \Leftrightarrow AB \cdot AD + BC \cdot AD = AD \cdot AD + AB \cdot BC \Leftrightarrow[/tex3]
  
  [tex3]AB \cdot (AD - BC) = AD \cdot (AD - BC) \Leftrightarrow AB = AD[/tex3] ou [tex3]AD = BC.[/tex3]

Portanto, fica provado que [tex3]ABCD[/tex3] tem pelo menos dois lados congruentes.

Obs.: Não consegui encontrar nada que impeça que [tex3]ABCD[/tex3] tenha três lados congruentes.

Se houver algum erro, avisem.