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A condição para que três números a, b e c estejam, simultaneamente, em progressão aritmética e em progressão geométrica é que:

a) [tex3]ac = b2[/tex3]
b) [tex3]a + c = 2[/tex3]
c) [tex3]a + c = b2[/tex3]
d) [tex3]a = b = c[/tex3]
e) [tex3]ac = 2b[/tex3]

[tex3]PA:\{a,b,c\}[/tex3]

Propriedade:
[tex3]b-a=c-b[/tex3]
[tex3]a+c=2b[/tex3]

[tex3]PG:\{a,b,c\}[/tex3]

Propriedade:
[tex3]\frac{b}{a}=\frac{c}{b}[/tex3]
[tex3]ac=b^2\Rightarrow b = \sqrt{ac}[/tex3]

Substituindo:
[tex3]a+c=2\sqrt{ac}[/tex3], elevando ao quadrado:
[tex3]a^2+c^2+2ac=4ac[/tex3]
[tex3]a^2 +c^2-2ac=0[/tex3]
[tex3](a-c)^2=0[/tex3]
[tex3]\boxed{a=c}[/tex3]

Por consequência,
[tex3]\boxed{\boxed{b=a=c}}[/tex3] Letra D

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