Olimpíadas ⇒ (OBM - 2007) Demonstração: Geometria Plana | Triângulos

[Auto Excluído (ID:276)]

Seja [tex3]ABC[/tex3] um triângulo retângulo isósceles. [tex3]K[/tex3] e [tex3]M[/tex3] são pontos sobre hipotenusa [tex3]AB,[/tex3] com [tex3]K[/tex3] entre [tex3]A[/tex3] e [tex3]M,[/tex3] e o ângulo [tex3]\angle KCM = 45^\circ .[/tex3] Prove que [tex3]AK^2 + MB^2 = KM^2[/tex3]

[Auto Excluído (ID:276)]

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tô com dúvida !

percebe-se que [tex3]b = a \sqrt{2} - c - d[/tex3] , assim como [tex3]d[/tex3] e [tex3]c[/tex3] que são respectivamente [tex3]a \sqrt{2} - c - b[/tex3] ; [tex3]a \sqrt{2} - d - b[/tex3]

agora substuindo os valores acima na equação proposta [tex3]b^2 + d^2 = c^2[/tex3] , chegamos a uma versão simplificada : [tex3]\frac{b^2 + d^2 - c^2}{2} + bd = bd[/tex3] -> [tex3]b^2 + d^2 = c^2[/tex3]

alguém pode dizer se está certo ?

[Auto Excluído (ID:276)]

q q isso acima...

como [tex3]\angle CAM = \angle KCM[/tex3] , os triângulos [tex3]\triangle CAM[/tex3] e [tex3]\triangle CKM[/tex3] são semelhantes.

[tex3]\frac{KM}{CM} = \frac{CK}{AC} \Rightarrow KM . AC = CM . CK[/tex3]

[tex3]CM^2 + CK^2 - CM.CK \sqrt{2} = KM^2[/tex3]

[tex3]CM^2 + CK^2 = KM ( AC\sqrt{2} + KM ) \Rightarrow CM^2 + CK^2 = KM ( 2KM + AK + MB )[/tex3]

[tex3]CK^2 = AC^2 + AK^2 - AC.AK\sqrt{2}[/tex3]
[tex3]CM^2 =AC^2 + MB^2 - AC.MB\sqrt{2}[/tex3]

[tex3]2AC^2 + AK^2 + MB^2 - AC \sqrt{2} ( AC \sqrt{2} - KM ) = KM ( 2KM + AK + MB )[/tex3]

[tex3]AK^2 + MB^2 = KM(2KM + AK + MB - AC\sqrt{2}) \Rightarrow AK^2 + MB^2 = KM^2[/tex3]