Olimpíadas ⇒ (Áustria) Triplas Ordenadas Tópico resolvido

[theblackmamba]

Determine todas as triplas ordenadas de inteiros postivos [tex3](a,\ b,\ c)[/tex3] tais que [tex3]8^a + 17 = b^c[/tex3]

[theblackmamba]

Na hora da prova eu tentaria variar os valores de [tex3]a[/tex3], [tex3]b[/tex3] e [tex3]c[/tex3].

Vejam que para [tex3]a=1[/tex3] temos:

[tex3]b^c=25[/tex3]
[tex3](b,c) \,\in\, (25,1),(5,2)[/tex3]

Para [tex3]a=2[/tex3] temos:

[tex3]b^c=81[/tex3]
[tex3](b,c) \,\in\,(81,1),(9,2),(3,4)[/tex3]

Mas o problema é para saber como achar os valores de [tex3]a[/tex3], [tex3]b[/tex3] e [tex3]c[/tex3] quando os expoentes são grandes. Alguém tem alguma ideia ?

Grande abraço.

[FelipeMartinMOD]

Sabemos que [tex3]b[/tex3] é ímpar.
Vamos supor [tex3]a \geq 3[/tex3].

Se [tex3]a[/tex3] e [tex3]c[/tex3] forem pares, teremos [tex3]17 = (b^{\frac{c}2} - 8^{\frac a2})(b^{\frac c2} + 8^{\frac a2}) \implies[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
b^{\frac c2} + 8^{\frac a2}= 17 \\
b^{\frac c2} - 8^{\frac a2}=1
\end{cases}[/tex3]

somando as duas: [tex3]b^{\frac{c}2} = 9 \implies (b =9, c=2, a=2), (b=3,c=4, a=2)[/tex3] são as únicas soluções.

Então, vamos impor [tex3]a \geq 3[/tex3] par, [tex3]a=2a' \implies a' \geq 2[/tex3] e [tex3]c[/tex3] ímpar.

Resposta

---

[tex3]17 = b^{c} - 8^{2a'} [/tex3]

fazendo tudo [tex3]\mod 3[/tex3], chegamos em [tex3]-1 \equiv b^c - 1 \mod 3 \iff b^c \equiv 0 \mod 3 \implies b \equiv 0 \mod 3[/tex3].
Mais do que isso, fazendo [tex3]\mod 9[/tex3] vemos que [tex3]b^c \equiv 0 \mod 9[/tex3].

[tex3]16 + 8^{2a'} = b^{c} -1 = (b-1)(b^{c-1}+...+1)[/tex3]

[tex3]16(1+2^{6a'-4}) = (b-1)(b^{c-1} +...+1)[/tex3].

É fácil provar que [tex3]\mdc (b-1,1 +b +... + b^{c-1}) \vert \frac{c(c-1)}2[/tex3]

Tenho que ver os demais casos.

[FelipeMartinMOD]

Sabemos que para [tex3]c=1[/tex3], sempre temos a solução: [tex3](a,17+8^a,1), a \in \mathbb N[/tex3].

Para [tex3]a[/tex3] e [tex3]c[/tex3] pares aos mesmo tempo, já vimos que caímos em [tex3](2,9,2)[/tex3] e [tex3](2,3,4)[/tex3].

De modo geral, se [tex3]c[/tex3] for par, podemos usar o corolário da página 151 deste pdf que diz:

"As únicas soluções da equação diofantina [tex3]y^2-17=2^k, y>0[/tex3] são [tex3](k,y) \in \{(3,5),(5,7),(6,9),(9,23)\}[/tex3]"

Há uma pequena prova no link que eu postei. Então as únicas soluções da nossa equação com [tex3]c[/tex3] par são: [tex3](1,5,2),(2,9,2),(2,3,4),(3,23,2)[/tex3]. Faltam os [tex3]c[/tex3]s ímpares, maiores que [tex3]1[/tex3].