Estude! Com Prof. Caju

Que valores de x satisfazem [tex3]x^{2} < |x| + 2[/tex3] ?


Obrigada!

marciia escreveu:Que valores de x satisfazem [tex3]x^{2} < |x| + 2[/tex3] ?


Obrigada!

Olá Marciia!

Suponha [tex3]x\ge 0,[/tex3] então [tex3]|x|=x:[/tex3]

Se [tex3]x\ge 0\Longrightarrow[/tex3][tex3]x^2<|x|+2\Longleftrightarrow \ \ x^2<x+2[/tex3]

[tex3]\Longleftrightarrow \ \ x^2-x-2<0.[/tex3] Veja que o termo que acompanha [tex3]x^2[/tex3] é positivo, então o gráfico é uma parábola com concavidade voltada para cima, o que significa que os valores que queremos estão entre as raízes. Calculando as raízes, temos:

[tex3]x^2-x-2=0[/tex3]

[tex3]\Delta=1+8=9[/tex3]

[tex3]x'=\dfrac{1+3}{2}=2\\ x'' = \dfrac{1-3}{2}=-1[/tex3]

Portanto, para acontecer [tex3]x^2<x+2,[/tex3] tem que ocorrer [tex3]-1<x<2.[/tex3] Mas como supomos [tex3]x\ge 0,[/tex3] arrumando nosso intervalo, ficamos com [tex3]0\le x<2.[/tex3]




Suponha agora que [tex3]x<0,[/tex3] então [tex3]|x|=-x.[/tex3] De modo que

[tex3]x^2<|x|+2\Longleftrightarrow \ x^2<-x+2[/tex3]

[tex3]\Longleftrightarrow \ x^2+x-2<0.[/tex3] Usando os mesmos argumentos usados acima, concluimos que [tex3]-2<x<1.[/tex3] Novamente, como supomos [tex3]x<0,[/tex3] ficamos com [tex3]-2<x<0.[/tex3]



Juntando os dois intervalos que encontramos, chegamos ao resultado:

Veja que [tex3]x^2 = \mid x \mid ^2[/tex3]

Logo, a inequação é:

[tex3]\mid x \mid^2 - \mid x \mid - 2 \ < \ 0[/tex3]

Considerando [tex3]\mid x \mid = y[/tex3]

[tex3]y^2 - y - 2 \ <\ 0[/tex3]

Encontrando [tex3]-1 < y < 2[/tex3], ou seja,

[tex3]-1 < \mid x \mid < 2[/tex3], e como [tex3]-1 < \mid x \mid[/tex3] é satisfeito para qualquer [tex3]x[/tex3] real, nos resta...

[tex3]\mid x \mid < 2 \ \Longrightarrow \ -2 \ < \ x \ < \ 2[/tex3]