Olimpíadas ⇒ (Argentina - 1997) Equação Tópico resolvido

[Cássio]

Encontre todos os números reais tais que

[tex3]\lfloor 19x+97\rfloor=19+97x.[/tex3]

[poti]

Olá Cássio.

[tex3]\lfloor 19x+97\rfloor=19+97x[/tex3]

Perceba que [tex3]x = 1[/tex3] é um resultado trivial. Pelas propriedades da função piso, reescrevemos:

[tex3]\lfloor 19x\rfloor=97x - 78[/tex3]

A função piso se assemelha muito à função que ela compõe, com a diferença que ela cresce em escadas e não numa reta contínua. Logo, se houver outra solução, estará muito perto da solução trivial.

Para [tex3]x = \frac{98}{97}[/tex3]:

[tex3]\lfloor 19.\frac{98}{97} \rfloor = 20[/tex3]

[tex3]\lfloor 19,2 \rfloor = 19 \neq 20[/tex3]

Para [tex3]x = \frac{96}{98}[/tex3]:

[tex3]\lfloor 19.\frac{96}{97} \rfloor = 18[/tex3]

[tex3]\boxed{\lfloor 18,8 \rfloor = 18}[/tex3]

Como a piso está associada com funções do primeiro grau e suas inclinações são bem diferentes, é um pouco lógico afirmar que elas não vão se tocar mais. Não sei provar isso formalmente, mas se você continuar substituindo valores pertos, vai se distanciar cada vez mais nos resultados.

Portanto, o conjunto solução é [tex3]\{\frac{96}{97}, 1 \}[/tex3].

Grande Abraço!

[FilipeCaceres]

Olá Poti,

Uma coisa que você poderia fazer para não precisar chutar ponto é o seguinte, para o resultado ser inteiro [tex3](19+97x)[/tex3] também deve ser inteiro, ou seja [tex3]97x=k,\,k\in \mathbb{Z}[/tex3].

Assim temos,
[tex3]x=\frac{k}{97}[/tex3]

Substituindo a equação inicial,
[tex3]\lfloor 19\cdot \frac{k}{97}+97\rfloor=19+k[/tex3]

Mas,
[tex3]x \leq \lfloor x\rfloor < x + 1[/tex3]

Logo,
[tex3]19+k\leq 19\cdot \frac{k}{97}+97< 20+k[/tex3]
[tex3]79\geq \frac{78\cdot k}{97}> 77[/tex3]
[tex3]97\geq k >\frac{77\cdot 97}{78}[/tex3]

Desta forma temos que [tex3]k=\{96,97\}[/tex3]

Portanto,
[tex3]x=\frac{96}{97}[/tex3]
[tex3]x=\frac{97}{97}=1[/tex3]

Solução: [tex3]\boxed{x=\left \{1,\frac{96}{97}\right \}}[/tex3]

Abraço.

[Aron]

[tex3]x \leq \lfloor x\rfloor < x + 1[/tex3]

Felipe Caceres sei que o tópico é antigo mas queria tirar uma dúvida nessa desigualdade.

a notação de [tex3]\lfloor x\rfloor[/tex3] não seria o maior inteiro menor ou igual a [tex3]x[/tex3] ? que é a função máximo inteiro.
exemplo:

[tex3]\lfloor3,14\rfloor=3\Rightarrow \lfloor-3,14\rfloor=-4[/tex3]

então creio eu que a desigualdade certa seria [tex3]\lfloor x\rfloor\leq x<\lfloor x\rfloor+1[/tex3] para [tex3]x\in \mathbb{R}[/tex3]

Desde já agradeço a atenção, um Forte Abraço.

[FilipeCaceres]

Olá Aron,

Eu escrevi errado,essas duas propriedade são muito boas.
[tex3]\lfloor x\rfloor=n \Longleftrightarrow n \leq x<n+1\hspace{30pt}(1)[/tex3]
[tex3]\lfloor x\rfloor=n \Longleftrightarrow x-1<n\leq x\hspace{30pt}(2)[/tex3]

Sendo [tex3]n[/tex3] inteiro e [tex3]x[/tex3] real.

No lugar

[tex3]x \leq \lfloor x\rfloor < x + 1[/tex3]

Considere
[tex3]n \leq x<n+1[/tex3]

Abraço.