Ensino Médio ⇒ Inteiro Ímpar Tópico resolvido

[rean]

Seja [tex3]n > 1[/tex3] um inteiro ímpar. Determinar, em função de [tex3]n[/tex3], os dois últimos dígitos de [tex3]2^{2n} (2^{2n + 1} - 1).[/tex3]

[poti]

O primeiro dígito você pega com (mod 10) e o segundo com (mod 100), mas não estou conseguindo usar com essa expressão.

[Cássio]

Seja [tex3]n > 1[/tex3] um inteiro ímpar. Determinar, em função de [tex3]n[/tex3], os dois últimos dígitos de [tex3]2^{2n} (2^{2n + 1} - 1).[/tex3]

Me parece que o algarismo das unidades é sempre 8 quando [tex3]n[/tex3] é ímpar e 6 quando [tex3]n[/tex3] é par:

[tex3]2^1\equiv 2\pmod{10}\hspace{2cm} 2^2\equiv 4\pmod{10}\hspace{2cm}2^3\equiv 8\pmod{10}[/tex3]

[tex3]2^4\equiv 6\pmod{10}[/tex3]

[tex3]2^{4k+r}\equiv 2^r\pmod{10}[/tex3]

Se [tex3]n\equiv 1\pmod{2},[/tex3] então, [tex3]2^{2n}(2^{2n+1}-1)\equiv 4\cdot (8-1)\equiv 8\pmod{10}[/tex3]

Se [tex3]n\equiv0\pmod{2},[/tex3] então, [tex3]2^{2n}(2^{2n+1}-1)\equiv 6\cdot (2-1)\equiv 6\pmod{10}[/tex3]


Tentei estudar os restos das potências de 2 na divisão por 100, mas demorou a sair uma repetição:

[tex3]2^1\equiv 2\pmod{100}\hspace{2cm}2^2\equiv 4\pmod{100}\hspace{2cm}2^3\equiv 8\pmod{100}[/tex3]

[tex3]2^4\equiv 6\pmod{100}\hspace{2cm}2^5\equiv 32\pmod{100}\hspace{2cm}2^6\equiv 64\pmod{100}[/tex3]

[tex3]2^7\equiv 28\pmod{100}\hspace{2cm}2^8\equiv 56\pmod{100}\hspace{2cm}2^9\equiv 12\pmod{100}[/tex3]

[tex3]2^{10}\equiv 24\pmod{100}\hspace{2cm}2^{11}\equiv 48\pmod{100}\hspace{2cm}2^{12}\equiv 96\pmod{100}[/tex3]

[tex3]2^{13}\equiv 92\pmod{100}\hspace{2cm}2^{14}\equiv 84\pmod{100}\hspace{2cm}2^{15}\equiv68 \pmod{100}[/tex3]

[tex3]2^{16}\equiv 36\pmod{100}\hspace{2cm}2^{17}\equiv 72\pmod{100}\hspace{2cm}2^{18}\equiv 44\pmod{100}[/tex3]

[tex3]2^{19}\equiv 88\pmod{100}\hspace{2cm}2^{20}\equiv 76\pmod{100}\hspace{2cm}2^{21}\equiv 52\pmod{100}[/tex3]

[tex3]2^{22}\equiv 4\pmod{10}[/tex3]

O período é de 21 potências.

Resposta

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Peço, que se possível, verifiquem a primeira afirmação.

[Cássio]

Acredito que a resposta saia considerando as possibilidade de [tex3]n\equiv\ ? \pmod{21}.[/tex3] Mas analisar 21 casos se torna entediante. Deve ter outra maneira menos "trabalhosa"...