Ensino Fundamental ⇒ Função do 1º Grau - Construção de Gráficos Tópico resolvido

[Úrsula]

Olá a todos.

Quando a questão pede que se construa um gráfico da função tal, é importante se considerar quantos pontos?

[jacobi]

Se for uma reta, então dois pontos são suficientes.
Se for uma parábola, então 4 pontos são suficientes.
Se for uma exponencial, então dois pontos são suficientes.
Se for uma trigonométrica, então ................

[Úrsula]

Dois pontos quaisquer ou são pontos específicos na reta; os que cortam os eixos dos x e dos y, por exemplo?

[Cássio]

Olá Jacobi e Úrsula!

Se for uma parábola, então 4 pontos são suficientes.

Jacobi, vi a questão e estive pensando se 3 pontos não seria suficiente para descrever uma única parábola. Veja o que pensei e, se possível, dê sua opinião:

Digamos que a parábola tenha equação [tex3]f(x)=ax^2+bx+c,\ a\ne 0,[/tex3] e que seja dados 3 pontos distintos da parábola: [tex3](x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3),[/tex3] onde [tex3]x_1\ne x_2\ne x_3.[/tex3] Então, temos

[tex3]\begin{cases} ax_1^2+bx_1+c=y_1\ \ \ \ \ (I)\\ ax_2^2+bx_2+c=y_2\ \ \ \ (II)\\ax_3^2+bx_3+c=y_3\ \ \ \ (III)\end{cases}[/tex3]

Fazendo [tex3](I)-(II):[/tex3]

[tex3](ax_1^2+bx_1+c)-(ax_2^2+bx_2+c)=y_1-y_2[/tex3]

[tex3]\Longrightarrow \ \ a(x_1^2-x_2^2)+b(x_1-x_2)+c-c=y_1-y_2[/tex3]

[tex3]\Longrightarrow \ \ a(x_1+x_2)(x_1-x_2)+b(x_1-x_2)=y_1-y_2[/tex3]

[tex3]\Longrightarrow \ \ (x_1-x_2)[a(x_1+x_2)+b]=y_1-y_2[/tex3]

[tex3]\Longrightarrow \ \ a(x_1+x_2)+b=\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\ \ \ \ \ \ (IV)[/tex3]


Fazendo [tex3](II)-(III):[/tex3]

[tex3](ax_2^2+bx_2+c)-(ax_3^2+bx_3+c)=y_2-y_3[/tex3]

[tex3]\Longrightarrow \ \ a(x_2^2-x_3^2)+b(x_2-x_3)+c-c=y_2-y_3[/tex3]

[tex3]\Longrightarrow \ \ a(x_2+x_3)(x_2-x_3)+b(x_2-x_3)=y_2-y_3[/tex3]

[tex3]\Longrightarrow \ \ (x_2-x_3)[a(x_2+x_3)+b]=y_2-y_3[/tex3]

[tex3]\Longrightarrow \ \ a(x_2+x_3)+b=\dfrac{y_2-y_3}{x_2-x_3}\ \ \ \ \ \ \ \ \ (V)[/tex3]


Fazendo [tex3](IV)-(V),[/tex3] temos:

[tex3][a(x_1+x_2)+b]-[a(x_2+x_3)+b]=\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}-\dfrac{y_2-y_3}{x_2-x_3}[/tex3]

[tex3]\Longrightarrow \ \ a(x_1+x_2-x_2-x_3)=\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}-\dfrac{y_2-y_3}{x_2-x_3}[/tex3]

[tex3]\Longrightarrow \ \ a=\dfrac{\left(\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}-\frac{y_2-y_3}{x_2-x_3}\right)}{x_1-x_3}[/tex3]

Ou seja, conseguimos determinar [tex3]a,[/tex3] e fazendo as devidas substituições, encontramos [tex3]b[/tex3] e [tex3]c.[/tex3]

Resposta

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A grande dúvida é saber (e provar) se essa parábola é única. Acredito que se não for única, deva existir no máximo 3 parábolas que satisfaça o sistema do começo, que dependeriam das equações subtraídas no começo. exemplo: talvez começando subtraindo (I) de (III) e depois subtraindo (I) de (II) cheguemos em outra solução, ou seja, outra parábola.

Abraço!

[Úrsula]

Em geral, meus gráficos saem diferentes (não errados!) dos gráficos do gabarito do livro, que me parecem seguir um padrão tal que em funções decrescentes com b > 0, considera-se os pontos em que a reta corta os eixos dos x e y (coisa que não acontece quando b < 0) e nas funções crescentes, quando o b < 0, usa-se o menor valor de x que resulte em um y positivo para obter um dos pontos (o outro ponto é igual ao b).