IME / ITA ⇒ (ITA - 1983) Geometria Analítica Tópico resolvido

[Leandro]

A parte algébrica não sai de jeito nenhum. Gostaria que o desenvolvimento da intersecção dos sistemas fosse apresentado.

Sejam [tex3]m[/tex3] e [tex3]n[/tex3] constantes reais estritamente positivas. Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, consideremos [tex3]C[/tex3] a circunferência de centro [tex3]P\left(\frac{1}{n},\frac{1}{m}\right)[/tex3] e de raio [tex3]R = \frac{\sqrt{m^{2}+n^{2}}}{m}[/tex3] e [tex3]r[/tex3] a reta de equação [tex3]mx + ny + (\sqrt{m^{2}+n^{2}} - 2) = 0[/tex3]. Nestas condições, se [tex3]s[/tex3] é a reta que passa por [tex3]P[/tex3] e é perpendicular à reta [tex3]r[/tex3], então os pontos de intersecção de [tex3]s[/tex3] com [tex3]C[/tex3] são:

Resposta

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Resposta, segundo o gabarito: [tex3]\left(\frac{1}{m}+1, \frac{1}{n}+ \frac{n}{m}\right)[/tex3] e [tex3]\left(\frac{1}{m}-1, \frac{1}{n} -\frac{n}{m}\right )[/tex3]

[miguel747]

Questão bem interessante. O ideal é você expandir menos os binômios.

A equação da circunferência é dada por:

[tex3](x-1/n)^2 + (y-1/m)^2 = \frac{m^2+n^2}{m^2}\,\,(I)[/tex3]

A equação da reta [tex3]r[/tex3] é dada por: [tex3]mx + ny +(\sqrt{m^{2}+n^{2}}- 2) = 0[/tex3]. Colocando na forma reduzida temos:

[tex3]mx + ny +(\sqrt{m^{2}+n^{2}}- 2) = 0\\
nx = -mx-(\sqrt{m^{2}+n^{2}}- 2)\\
y = -\frac{m}{n}x-(\sqrt{m^{2}+n^{2}}- 2)/n\,\,\,\,\,(II)[/tex3]

Sabemos que [tex3]r[/tex3] é perpendicular a [tex3]s[/tex3], de [tex3](II)[/tex3]:

[tex3]m_s . m_r = -1\\
\boxed{m_s = \frac{n}{m}}[/tex3]

Dado que a reta [tex3]s[/tex3] passa pelo ponto [tex3]P\left(\frac{1}{n},\frac{1}{m}\right)[/tex3], temos q seguinte equação da reta:

[tex3]y - \frac{1}{m} = \frac{n}{m}\left(x - \frac{1}{n}\right )\,\,\,(III)[/tex3].

Utilizando (I) e (III). verificamos o seguinte sistema:

[tex3]\begin{cases}(x-1/n)^2 + (y-1/m)^2 = \frac{m^2+n^2}{m^2}\\y - \frac{1}{m} = \frac{n}{m}\left(x - \frac{1}{n}\right )\end{cases}[/tex3]

Substitui (III) na (I):

[tex3](x-1/n)^2 + \underbrace{(y-1/m)^2}_{(I)} = \frac{m^2+n^2}{m^2}\\
\\
(x-1/n)^2+\frac{n^2}{m^2}(x-1/n)^2 = \frac{m^2+n^2}{m^2}\\
\\
(x-1/n)^2(1+\frac{n^2}{m^2}) = \frac{m^2+n^2}{m^2}\\
\\
(x-1/n)^2(\cancel{\frac{m^2+n^2}{m^2}}) = \cancel{\frac{m^2+n^2}{m^2}}\\
\\
(x-1/n)^2 = 1\\
(x-1/n) = \pm1\\
\boxed{x = \pm1+1/n}[/tex3]

Substituindo em [tex3](III)[/tex3] temos:

[tex3]y - \frac{1}{m} = \frac{n}{m}\underbrace{\left(x - \frac{1}{n}\right)}_{ = \pm1}\\
\\
\boxed{y = \pm \frac{n}{m} + \frac{1}{m}}[/tex3]

Os pontos portanto são: [tex3]\boxed{\left(1+1/n\,,\,\frac{n}{m} + \frac{1}{m} \right)}[/tex3] e [tex3]\boxed{\left(-1+1/n\,,\,-\frac{n}{m} + \frac{1}{m}\right)}[/tex3]

A resposta deu ao contrário, mas veja que o valor relacionado a m está na coordenada [tex3]x[/tex3] na resposta, enquanto no problema está relacionada a coordenada [tex3]y[/tex3].

Dá uma olhada novamente na resposta e vê se vc não escreveu o enunciado com alguma coisa diferente.

Abs,

[Leandro]

Muito obrigado, ótima resolução. Com tanto n pra cá e m pra lá tava errando por falta de atenção no desenvolvimento. E sim, eu troquei as coordenadas do ponto P na hora de transcrever o enunciado. Sou campeão em escrever o enunciado errado ¬¬