Ensino Médio ⇒ Trinômio do 2º Grau Tópico resolvido

[felipebarreto]

As raízes de um trinômio do 2º Grau de coeficientes inteiros são dois números inteiros distintos. Sabendo que a soma dos 3 coeficientes é um numero primo e que para algum inteiro positivo o valor do trinômio é igual a -55, a diferença entre a maior e a menor raiz do trinômio é igual a :

(A) 10
(B) 12
(C) 14
(D) 16
(E) 18

Gbarito: D

[felipebarreto]

alguém?

[felipebarreto]

Ninguém sabe fazer?

[jacobi]

As raízes de um trinômio do 2º Grau de coeficientes inteiros são dois números inteiros distintos. Sabendo que a soma dos 3 coeficientes é um numero primo e que para algum inteiro positivo o valor do trinômio é igual a -55, a diferença entre a maior e a menor raiz do trinômio é igual a :

(A) 10
(B) 12
(C) 14
(D) 16
(E) 18

Gbarito: D

A diferença das raízes é dada por [tex3]\frac{\sqrt{\Delta}}{a}[/tex3]
Seja k o algum número inteiro. Daí, [tex3]ak^{2} + bk + c + 55 = 0[/tex3]
Daí, [tex3]k = \frac{-b \pm \, \sqrt{b^{2} - 4a(c + 55)}}{2a}[/tex3]
Com isso, [tex3]b^{2} - 4ac - 220a = t^{2}[/tex3]
Mas, [tex3]b^{2} - 4ac[/tex3] é também um quadrado perfeito, ou seja, pode ser igual a [tex3]m^{2}[/tex3]
Assim, [tex3]m^{2} - t^{2} = 220a[/tex3]
Agora, [tex3](m + t).(m - t) = 2^{2}.5.11.a[/tex3]
Como [tex3]m + t = M[/tex3] e [tex3]m - t = P[/tex3]
Então, [tex3]m = \frac{M + T}{2}[/tex3]
Como 220 é par duas vezes, ou seja, tem o fator 2², então M e P devem ser par, para que m seja inteiro.
Daí,[tex3]M = 22a[/tex3] e [tex3]P = 10[/tex3].
Logo, para [tex3]a = 1[/tex3], temos que [tex3]m = 16[/tex3].
Daí, a diferença das raízes é [tex3]\frac{16}{1} = 16[/tex3]