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Prove que o algarismo das dezenas do número:
[tex3]{2}^{1999} + {2}^{2000} + {2}^{2001}[/tex3] é ímpar.

Só consegui resolver desta maneira:

Se você pegar os algarismos das unidades das potência de 2: [tex3]2^1,2^2.....2^n[/tex3] verá que o ciclo de repetição destes algarismos é 24, ou seja, a cada 24 potências de 2 há uma sequência padrão nos algarismos na unidades.

Veja que:

[tex3]2^{1999}\equiv 2^{83\cdot 24+7} \equiv 2^7(mod\,100) \equiv 128(mod \,100) \equiv 8(mod\,10)[/tex3]
[tex3]2^{2000} \equiv 2^{84\cdot 24 + 8}\equiv 2^8(mod 100) \equiv 256 (mod\,100) \equiv 6(mod 10)[/tex3]
[tex3]2^{2001}\equiv 2^{83\cdot 24+9} \equiv 2^9(mod \,100) \equiv 512(mod\,100) \equiv 2(mod\,10)[/tex3]


Logo,
[tex3]2^{1999}+2^{2000}+2^{2001} \equiv 8+6+2(mod\,10) \equiv 16(mod\,10)[/tex3].
Estes os dois últimos algarismos da soma. Portanto a dezena é 1, que é ímpar. CDQ.

Gaussiano escreveu:Prove que o algarismo das dezenas do número:
[tex3]{2}^{1999} + {2}^{2000} + {2}^{2001}[/tex3] é ímpar.

Olá Gaussiano e Theblackmamba.

[tex3]2^2\equiv 04\pmod{100}\hspace{2cm}2^3\equiv 08\pmod{100}[/tex3]

[tex3]\vdots[/tex3]

[tex3]2^7\equiv 28\pmod{100}\hspace{2cm} 2^8\equiv 56\pmod{100}\hspace{2cm} 2^9\equiv 12\pmod{100}[/tex3]

[tex3]2^{10}\equiv 24\pmod{100}\hspace{2cm} 2^{11}\equiv 48\pmod{100}\hspace{2cm} 2^{12}\equiv 96\pmod{100}[/tex3]

[tex3]2^{13}\equiv 92\pmod{100}\hspace{2cm}2^{14}\equiv 84\pmod{100}\hspace{2cm} 2^{15}\equiv 68\pmod{100}[/tex3]

[tex3]2^{16}\equiv 36\pmod{100}\hspace{2cm} 2^{17}\equiv 72\pmod{100}\hspace{2cm}2^{18}\equiv 44\pmod{100}[/tex3]

[tex3]2^{19}\equiv 88\pmod{100}\hspace{2cm} 2^{20}\equiv 76\pmod{100}\hspace{2cm} 2^{21}\equiv 52\pmod{100}[/tex3]

[tex3]2^{22}\equiv 04\pmod{100}\hspace{2cm} 2^{23}\equiv 08\pmod{100}[/tex3]


O período que encontrei foi de 20.

[tex3]2^{1999}+2^{2000}+2^{2001}=2^{20\times 99+19}+2^{20\times 100}+2^{20\times 100 +1}\equiv 2^{19}+2^{20}+2^{21}\equiv 88+76+52\equiv 16\pmod{100}.[/tex3]

De fato o resultado bateu com o do Theblackmamba. O penúltimo algarismo é 1.