Olimpíadas ⇒ (Estônia) Desigualdades Tópico resolvido

[theblackmamba]

Seja [tex3]a[/tex3], [tex3]b[/tex3] e [tex3]c[/tex3] números reais positivos tal que [tex3]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=a+b+c[/tex3]. Prove que:

[tex3]\frac{1}{(2a+b+c)^2}+\frac{1}{(2b+c+a)^2}+\frac{1}{(2c+a+b)^2} \leq \frac{3}{16}[/tex3]

[Vinisth]

Olá theblackmamba,

**Nota :
[tex3](x-y)^2\geq 0[/tex3],
[tex3](x+y)^2\geq 4xy[/tex3]

Tomando agora :
[tex3](a+b+2c)^2=(a+c+b+c)^2 \geq 4(a+c)(b+c)[/tex3], então :
[tex3]\sum_{cic}\frac{16}{(a+b+2c)^2}\leq \sum_{cic}\frac{4}{(a+c)(b+c)} \leq \frac{8(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(a+c)}[/tex3]
Sabendo que :
[tex3](a+b)(b+c)(c+a) \geq \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ac)[/tex3], então
[tex3]\frac{8(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(a+c)} \leq \frac{9}{ab+bc+ac}[/tex3]

[tex3]a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ \rightarrow 3(ab+bc+ac)=3abc(a+b+c)\leq (ab+bc+ac)^2[/tex3]
[tex3]ab+bc+ac\ge 3[/tex3]

[tex3]\boxed{\sum_{cic}\frac{16}{(a+b+2c)^2}\le\frac{9}{ab+bc+ac}\leq 3}[/tex3]

Abraço !

[Auto Excluído (ID:8010)]

O que significa [tex3]''\sum_{cic}\, ''[/tex3]?

[Vinisth]

Somatório Cíclico [tex3]\sum_{cic}[/tex3] é obtido através das permutações entre letras. Por exemplo :

Sendo [tex3]p = (a,b,c)[/tex3]
[tex3]\sum_{a,b,c} a^2 = a^2+b^2+c^2[/tex3]

Abraço !

[Auto Excluído (ID:8010)]

Não entendi o porquê de você colocar o índica [tex3]cic[/tex3] no somatório. Nos livros o somatório é usado sem o índice [tex3]cic[/tex3].

Eu só perguntei, pois pensei que o somatório [tex3]''\sum_{cic}\, ''[/tex3] tinha uma função específica.
Obrigado pela resposta!

O theblackmamba esqueceu de falar que esse problema está na Shortlist da IMO 2009. Tem uma solução alternativa no arquivo abaixo:

http://www.imo-official.org/problems/IMO2009SL.pdf

[Vinisth]

Ahh sim, legal. Na verdade a notação vem do ingles "cyc" de "cyclic", também usam "sym" que é symmetric senão me engano.