Demonstrações ⇒ Demonstração - Três circunferências tangentes

[FilipeCaceres]

Olá a todos,

Dado três circunferência tangentes, conforme a figura abaixo, demonstre que:

[tex3]\frac{1}{\sqrt{R_1}}=\frac{1}{\sqrt{R_2}}+\frac{1}{\sqrt{R_3}}[/tex3]

circulos_tangente.png (9.91 KiB) Exibido 4706 vezes

Demonstração:

Primeira parte:

circulos_tangente_1.png (11.8 KiB) Exibido 4722 vezes

Da figura tiramos,
[tex3]d^2+(R_3-R_2)^2=(R_3+R_2)^2[/tex3]
[tex3]d^2=(R_3+R_2)^2-(R_3-R_2)^2[/tex3], lembre-se: [tex3]a^2-b^2=(a+b)(a-b)[/tex3]
[tex3]d^2=4R_3R_2[/tex3]
[tex3]\boxed{d=2\sqrt{R_3R_2}}[/tex3]

Segunda parte:

circulos_tangente_2.png (9.91 KiB) Exibido 4722 vezes

Da figura tiramos,
[tex3]\ell ^2+(R_3-R_1)^2=(R_3+R_1)^2[/tex3]
[tex3]\ell^2=(R_3+R_1)^2-(R_3-R_1)^2[/tex3], lembre-se: [tex3]a^2-b^2=(a+b)(a-b)[/tex3]
[tex3]\ell^2=4R_3R_1[/tex3]
[tex3]\boxed{\ell=2\sqrt{R_3R_1}}[/tex3]

Terceira parte:

circulos_tangente_3.png (9.59 KiB) Exibido 4722 vezes

Da figura tiramos,
[tex3](d-\ell) ^2+(R_2-R_1)^2=(R_2+R_1)^2[/tex3]
[tex3](d-\ell)^2=(R_2+R_1)^2-(R_2-R_1)^2[/tex3], lembre-se: [tex3]a^2-b^2=(a+b)(a-b)[/tex3]
[tex3](d-\ell)^2=4R_2R_1[/tex3]
[tex3]d-\ell=2\sqrt{R_2R_1}[/tex3]

Substituindo os valores de [tex3]d\,e\, \ell[/tex3]
[tex3]2\sqrt{R_3R_2}-2\sqrt{R_3R_1}=2\sqrt{R_2R_1}[/tex3]

Dividindo tudo por [tex3]2\sqrt{R_1R_2R_3}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{\sqrt{R_1}}-\frac{1}{\sqrt{R_2}}=\frac{1}{\sqrt{R_3}}[/tex3]

Portanto,
[tex3]\boxed{\boxed{\frac{1}{\sqrt{R_1}}=\frac{1}{\sqrt{R_2}}+\frac{1}{\sqrt{R_3}}}}[/tex3]. Como queríamos demostrar.

Abraço.