IME / ITA ⇒ (ITA - 2005) Função Modular Tópico resolvido

[gabrielifce]

Determine todos os valores reais de a para os quais a equação [tex3](x-1)^2=|x-a|[/tex3] admita exatamente três soluções

Resposta

---

Resp.: a=5/4, ou a=3/4 ou a=1

[FilipeCaceres]

Olá gabrielifce,

Temos,
[tex3](x-1)^2=|x-a|[/tex3]

Reescrevendo,
[tex3](x-1)^2=\begin{cases}x-a,\,\,se\,\,x\geq a\\-x+a,\,\,se\,\,x< a\end{cases}[/tex3]

Agora é só analisar os casos.
[tex3]x^2-2x+1=x-a[/tex3]
[tex3]x^2-3x+(1+a)=0[/tex3]

Agora veja que para ter uma solução real devemos ter [tex3]\Delta =0[/tex3], caso contrário teríamos infinitas soluções.
[tex3]9-4\cdot1\cdot(1+a)=0[/tex3]
[tex3]\boxed{a=\frac{5}{4}}[/tex3]

Também temos,
[tex3]x^2-2x+1=-x+a[/tex3]
[tex3]x^2-x+(1-a)=0[/tex3]

Fazendo [tex3]\Delta =0[/tex3]
[tex3]1-4\cdot 1\cdot(1-a)=0[/tex3]
[tex3]\boxed{a=\frac{3}{4}}[/tex3]

Para encontrar a terceira solução, vamos igualar as expressões.
[tex3]\cancel{x^2}-3x+\cancel{1}+a=\cancel{x^2}-x+\cancel{1}-a[/tex3]
[tex3]x=a[/tex3]

Substituindo em qualquer expressão,
[tex3]a^2-a+(1-a)=0[/tex3]
[tex3]a^2-2a+1=0[/tex3]
[tex3](a-1)^2=0[/tex3]
[tex3]\boxed{a=1}[/tex3]

Abraço.