Olimpíadas ⇒ Raízes Reais da Equação Tópico resolvido

[rean]

Determine as raízes reais da equação [tex3]\sqrt[4]{97-x}+\sqrt[4]{x}=5[/tex3]

[FilipeCaceres]

Olá rean,

Temos,
[tex3]\sqrt[4]{97-x}+\sqrt[4]{x}=5[/tex3]

Agora façamos o seguinte,
[tex3]a=\sqrt[4]{97-x}[/tex3]
[tex3]b=\sqrt[4]{x}[/tex3]

De onde tiramos,
[tex3]\begin{cases}a+b=5\\a^4+b^4=97\end{cases}[/tex3]

Mas,
[tex3](a+b)^4=a^4+b^4+4ab(a+b)^2-2a^2b^2[/tex3]
[tex3]625=97+100ab-2a^2b^2[/tex3]
[tex3]2a^2b^2-100ab+528=0[/tex3]
[tex3]ab=44[/tex3]
[tex3]ab=6[/tex3]

Assim temos,
[tex3]\begin{cases}a+b=5\\ab=44\end{cases}[/tex3], Mas esse sistema não satisfaz o enunciado que diz que as raízes devem ser reais.

Mas também temos,
[tex3]\begin{cases}a+b=5\\ab=6\end{cases}[/tex3]

De onde tiramos,
[tex3](a,b)=(2,3),(3,2)[/tex3]

Logo,
[tex3]\sqrt[4]{97-x}=2\rightarrow x=81[/tex3]
[tex3]\sqrt[4]{x}=3\rightarrow x=81[/tex3]

[tex3]\sqrt[4]{97-x}=3\rightarrow x=16[/tex3]
[tex3]\sqrt[4]{x}=2\rightarrow x=16[/tex3]

Portanto,
[tex3]\boxed{x=16}[/tex3]
[tex3]\boxed{x=81}[/tex3]

Abraço.