Pré-Vestibular ⇒ (UPF - 2012/2) Geometria Analítica Tópico resolvido

[LucasFracao]

Considere um ponto [tex3]P[/tex3], do primeiro quadrante, pertencente à circunferência de centro na origem e raio [tex3]1[/tex3].

* Sejam (r, s) as coordenadas do ponto P;
* Seja t a reta tangente à circunferência no ponto P;
* Seja Q o ponto de intersecção da reta t com o eixo x.

A abcissa do ponto [tex3]Q[/tex3] é:

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a) [tex3]2r[/tex3]
b) [tex3]r+1[/tex3]
c) [tex3]r-1[/tex3]
d) [tex3]\frac{1}{r}[/tex3]
e) [tex3]\frac{1+r}{r}[/tex3]

[jacobi]

Traçando, a partir da origem, um segmento perpendicular a tangente, temos que o coeficiente angular desse é [tex3]\frac{s}{r}[/tex3].

Daí, o coeficiente angular da reta tangente é [tex3]\frac{-r}{s}[/tex3]

Logo, a equação da reta tangente é dada por: [tex3]y = \frac{-rx}{s} + b[/tex3]

Subsittuindo [tex3]y = s[/tex3] e [tex3]x = r[/tex3], calculamos b e temos: [tex3]y = \frac{-rx}{s} + s + \frac{r^{2}}{s}[/tex3]

Fazendo [tex3]y = 0[/tex3], temos [tex3]0 = \frac{-rx}{s} + s + \frac{r^{2}}{s}[/tex3]

Assim, [tex3]\frac{rx}{s} = s + \frac{r^{2}}{s}[/tex3]

Com isso, [tex3]x = \frac{s^{2}}{r} + r[/tex3] e [tex3]x = \frac{s^{2} + r^{2}}{r} = \frac{1}{r}[/tex3]

[LucasFracao]

Obrigado! Excelente sacada.