Olimpíadas ⇒ (Grécia-2000) Teoria dos números Tópico resolvido

[Aron]

Determine o número primo [tex3]p[/tex3] para o qual o número [tex3]1+p+p^{2}+p^{3}+p^{4}[/tex3] é um quadrado perfeito

[arthurnoe]

Seria P=3 ?

[Aron]

Seria P=3 ?

é três sim, mas queria provar que só existe ele mesmo, e que não há possibilidade de outros valores

[Aron]

A minha solução.
È trivial ver que [tex3]p^4+p^3+p^2+p+1>0[/tex3] então [tex3]p^4+p^3+p^2+p+1=q^2[/tex3] onde [tex3]q\in \mathbb{N}[/tex3]


[tex3]p^4+p^3+p^2+p+1=q^2\Rightarrow p^3(p+1)+p(p+1)=q^2-1\Rightarrow[/tex3]
[tex3]p(p+1)(p^2+1)=(q+1)(q-1)[/tex3]

Como [tex3]p[/tex3] é primo a única possibilidade dele ser par é se [tex3]p=2[/tex3] que no caso não é uma solução, logo se [tex3]p[/tex3] existir ele é um número inteiro, primo e ímpar que pode ser escrito dessa forma [tex3]p=2k+1[/tex3] sendo [tex3]k\in \mathbb{Z}[/tex3], substituindo se obtém.

[tex3]4(2k+1)(k+1)(2k^2+2k+1)=(q+1)(q-1)[/tex3]

È facil ver que [tex3](q+1)(q-1)[/tex3] tem que ser par pois ele é um múltiplo de 4 e isso só vai acontecer se [tex3]q[/tex3] for ímpar, então podemos escreve-lo da seguinte forma [tex3]q=2t+1[/tex3] sendo [tex3]t\in \mathbb{N}[/tex3] substituindo se obtém.
[tex3]4(2k+1)(k+1)(2k^2+2k+1)=4t(t+1)\Rightarrow[/tex3]
[tex3](2k+1)(k+1)(2k^2+2k+1)=t(t+1)\Rightarrow[/tex3]
[tex3](\underbrace{2k^2+2k+1}_u+k)(\underbrace{2k^2+2k+1}_u)=t(t+1)\Rightarrow[/tex3]
[tex3]u(u+k)=t(t+1)[/tex3]

para igualdade ser satisfeita como o produto de números consecutivos [tex3]k=1[/tex3] e Finalmente como
[tex3]p=2k+1\Rightarrow \boxed{\boxed{p=3}}[/tex3]

Note também que o [tex3]k\in \mathbb{Z}[/tex3] então [tex3]k=-1[/tex3] também é uma possibilidade veja que

[tex3]u(u+k)=t(t+1)\Rightarrow u(u-1)=t(t+1)[/tex3] continua sendo o produto de números consecutivos só que [tex3]p=-1[/tex3] então não seria primo, não satisfazendo as condições dadas pelo enunciado.

Abraço.

Aron.