Olimpíadas ⇒ (OMA - 1999) Números Tricúbicos

[rean]

Um número natural de três algarismos é chamado de tricúbico se é igual a soma dos cubos dos seus dígitos. Encontre todos os pares de números consecutivos tais que ambos sejam tricúbicos.

[ALDRINMOD]

Seja [tex3]a10^2 + b10 + c[/tex3] o menor número de um par tricúbico [tex3](a \neq 0)[/tex3].
Se [tex3]c < 9[/tex3], e o outro número do par é [tex3]a10^2 + b10 + c +1[/tex3] daí temos:

[tex3]a10^2 + b10 + c = a^3 + b^3 + c^3[/tex3]
[tex3]a10^2 + b10 + c + 1 = a^3 + b^3 + (c + 1)^3[/tex3]
onde
[tex3]a^3 + b^3 + c^3 + 1 = a^3 + b^3 + (c + 1)^3[/tex3].

Então,

[tex3]3c^2 + 3c = 0[/tex3]
e o único valor possível para o dígito [tex3]c[/tex3] é [tex3]0[/tex3]. Então

[tex3]a10^2 + b10 = a^3 + b^3[/tex3]
[tex3]10(a10 + b) = a^3 + b^3[/tex3](?)

e temos que [tex3]a^3 +b^3[/tex3] é múltiplo de [tex3]10[/tex3] e que [tex3]b = 10-a[/tex3] o único valor que satisfaz (*) é [tex3]a = 3[/tex3], temos então o par [tex3](370,371)[/tex3].