IME / ITA ⇒ ( ITA - 1994 ) Polinômios Tópico resolvido

[Leandro]

Seja P(x) um polinômio de grau 5, com coeficientes reais, admitindo 2 e i como raízes. Se P(1)P(-1) < 0, então o número de raízes reais de P(x) pertencentes ao intervalo ]-1, 1[ é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

Resposta

---

Gabarito: B

[theblackmamba]

Se [tex3]i[/tex3] é raíz então [tex3]-i[/tex3] também é raíz, pois os coeficientes são reais.

Pelo Teorema de Bolzano, como [tex3]P(1)\cdot P(-1)<0[/tex3] há um número ímpar de raízes neste intervalo, ou seja, há a possibilidade de haver [tex3]1[/tex3] ou [tex3]3[/tex3] raízes reais, pois já existe duas raízes complexas para a equação.

Como [tex3]2[/tex3] é raíz e não está dentre [tex3]]-1,1[[/tex3] concluímos há apenas [tex3]1[/tex3] uma raíz real neste intervalo.

[poti]

Se [tex3]i[/tex3] é raiz, pelo teorema das raízes complexas [tex3]-i[/tex3] também é. Então temos 3 raízes descobertas:

[tex3]2,i,-i[/tex3]

Perceba que todas estão fora do intervalo dado.

Pelo teorema de Bolzano, se [tex3]p(a).p(b) < 0[/tex3], então existe um número ímpar de raízes no intervalo [tex3]]a,b[[/tex3]. Como podemos ter no máximo 2 raízes nesse intervalo, já que as outras 3 já estão descobertas, a única possibilidade é ter 1 raiz já que 3 ultrapassa o número de raízes desse polinômio.

Letra B

*Obs: Se precisar de uma melhor ilustração do Bolzano, peça que eu te mostro.

Abraço!

[Leandro]

Agradeço a ambos, theblackmamba e poti, pela resposta. Vou dar uma pesquisada sobre este tal teorema, e caso não encontre nada retorno aqui pra encomodá-los. Abraço!