Física III ⇒ Força Eletromotriz Tópico resolvido

[felps]

Alguém poderia me ajudar?

Quando a chave [tex3]C[/tex3] da figura deste problema está aberta, a potência dissipada na resistência [tex3]R_0[/tex3] é [tex3]P[/tex3]. Quando [tex3]C[/tex3] está fechada, a potência total dissipada nos dois resistores [tex3]R_0[/tex3] é ainda [tex3]P[/tex3]. Calcule o valor de [tex3]R[/tex3] em função de [tex3]R_0[/tex3], para o qual esta situação é observada (a resistência interna da bateria é desprezível).

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Resposta

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[tex3]R=\frac{R_0}{\sqrt{2}}[/tex3]

[emanuel9393MOD]

Olá, felps!

Quando a chave [tex3]C[/tex3] está aberta, temos:
[tex3]P \, = \, R_{0} \cdot i^{2} \,\,\, (I)[/tex3]
Por Pouillet, temos:
[tex3]i \, = \, \frac{\varepsilon}{R \, + \, R_{0}} \,\,\, (II)[/tex3]
Substituindo [tex3](II)[/tex3] em [tex3](I)[/tex3], temos:
[tex3]P \, = \, R_{0} \cdot \left(\frac{\varepsilon}{R \, + \, R_{0}}\right)^{2} \,\,\,\,\, (III)[/tex3]
Quando a chave [tex3]C[/tex3] está fechada, temos:
[tex3]P \, = \, \frac{R_{0}}{2} \cdot i^{2} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, P \, = \, \frac{R_{0}}{2} \cdot \left(\frac{\varepsilon}{R \, + \, \frac{R_{0}}{2}} \right)^{2} \,\,\,\,\, (IV)[/tex3]
Agora, basta igualar [tex3](III)[/tex3] com [tex3](IV)[/tex3]:
[tex3]R_{0} \cdot \left(\frac{\varepsilon}{R \, + \, R_{0}}\right)^{2} \, = \, \frac{R_{0}}{2} \cdot \left(\frac{\varepsilon}{R \, + \, \frac{R_{0}}{2}} \right)^{2} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \frac{1}{R \, + \, R_{0}} \, = \, \frac{2}{2 \, R \, + \, R_{0}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \\ \\ 2\sqrt{2} \cdot R \, + \, \sqrt{2} \cdot R_{0} \, = \, 2 \cdot R \, + \, 2 \cdot R_{0} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, R \, = \, \left(\frac{2 \, - \, \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \, - \, 2}\right) \cdot R_{0}[/tex3]
Racionalizando essa monstruosidade aí, você encontra:
[tex3]R \, = \, \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot R_{0} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \boxed{\boxed{R \, = \, \frac{R_{0}}{\sqrt{2}}}}[/tex3]
Espero que esteja fácil de assimilar. Qualquer dúvida pode perguntar.
Um abraço!