Ensino Médio ⇒ Aritmética - Números Positivos

[pumpkinn]

Pessoal,

existe alguma fórmula que representa quantas formas existem para representar n como soma de números positivos?

Por exemplo, para um n = 5:

5 = 3+2
5 = 2+2+1
5 = 3+1+1
5 = 2+1+1+1
5 = 4+1
5 = 1+1+1+1+1

Ou seja, ele pode ser representado por 6 somas diferentes.

Em diversos testes que fiz, notei que a partir de 3 ele passa a ter pelo menos três possibilidades, mas não consegui a resposta para isso ainda. Alguém já teve um problema parecido?

[poti]

Olá.

Sua dúvida é referente a uma operação simples, mas que intriga matemáticos há mais de 300 anos. O que você acabou de fazer se chama partição de um número (aliás, 5 = 5 é incluso também, logo são 7 formas e não 6 como você disse).

Um matemático japonês anunciou ter descoberto uma fórmula finita em 2010, mas ela não foi divulgada. Existe uma fórmula assintótica (que aproxima o valor para valores muito grandes), dada por:

[tex3]\boxed{p(n) \approx \frac{e^{\pi \sqrt{\frac{2n}{3}}}}{4n \sqrt{3}}}[/tex3]

Para valores exatos (com [tex3]n[/tex3] não tão grande), existem alguns métodos que vi na faculdade:
- Diagrama de Ferrer
- Diagrama de Young
- Recorrência com Função Geradora / Função de Euler (http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_function)

Vi em sala de aula o primeiro e o terceiro, sendo que entendi realmente só o terceiro. Ele envolve matemática um pouco avançada e foge até mesmo do padrão de ensino superior, acho que você não entenderia muito bem.

Existe ainda a composição de um número, onde é quase a mesma coisa, só que a ordem importa. Por exemplo:

2 + 1 = 3
1 + 2 = 3

Conta-se as duas formas na composição e todas as outras que não são contadas na partição. Deu pra sacar mais ou menos ?

Se quiser saber algo mais pode perguntar.

Abraço!

[poti]

Esqueci de citar: no caso das composições, a fórmula geral é dada por [tex3]2^{n-1}[/tex3]. A prova é simples e puramente combinatória.

Abração!