Física II ⇒ Dilatação Superficial Tópico resolvido

[rareirin]

Deseja-se acoplar um eixo cilíndrico a uma roda com um orifício circular. Entretanto, como a área da seção transversal do eixo é 2,0% maior que a do orifício, decide-se resfriar o eixo e aquecer a roda. O eixo e a roda estão inicialmente à temperatura de 30ºC. Resfriando-se o eixo para –20ºC, calcule qual o acréscimo mínimo de temperatura da roda para que seja possível fazer o acoplamento. O eixo e a roda são de alumínio, que tem coeficiente de dilatação superficial de [tex3]5\cdot 10^{-5}{^{\circ}C^{-1}}[/tex3]

[emanuel9393MOD]

Olá, rarerin!

Sendo [tex3]A[/tex3] a área do orifício, vamos determinar a contração solicitada no eixo cilíndrico:
[tex3]\Delta A_{e} \, = \, 1,02 \cdot A\cdot 5 \cdot 1^{-5} \cdot \left(-50\right) \, = \, - \, 2,55 \cdot 10^{-3} \cdot A[/tex3]
A seção transversal do eixo passou a ter uma área [tex3]A_{e}[/tex3] igual a:
[tex3]A_{e} \, = \, 1,02 \cdot A \, - \, 2,55 \cdot 10^{-3} A \, = \, A \cdot \left(1,02 \, - \, 2,55 \cdot 10^{-3}\right)[/tex3]
Para que o orifício atinja a mesma área, devemos ter:
[tex3]A_{f} \, = \, A \cdot\left(1 \, + \, \alpha \cdot \Delta \theta\right) \,\,\, \Rightarrow \,\,\, A \cdot \left(1,02 \, - \, 2,55 \cdot 10^{-3}\right) \, = \, A \cdot\left(1 \, + \, \alpha \cdot \Delta \theta\right) \\ \\ 20 \cdot 10^{-3} \, - \, 2,55 \cdot 10^{-3} \, = \, 5 \cdot 10^{-5} \cdot \Delta \theta \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \Delta \theta \, = \, 17,45 \cdot 10^{2}[/tex3]
Logo, a temperatura final [tex3]\theta_{f}[/tex3] será:
[tex3]\theta_{f} \, = \, 1745 \, + \, 30 \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \boxed{\boxed{\theta _{f} \, = \, 1775 \,\, ^{0} C}}[/tex3]

Um abraço!