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Um valor líquido creditado na conta de um cliente foi de 5.490,00 correspondente ao desconto racional de um título de 9.000,00 à taxa de 24% aa, Qual o prazo a decorrer até o vencimento desse título.
Agradecido

Olá BobDog !

Como diz o enunciado , um valor líquido de 5.490,00 foi creditado ou depositado na conta de um cliente, correspondente ao desconto racional ( ou por dentro) como também é conhecido, de um título de 9000,00 á taxa de 24% ao ano. Qual o prazo a decorrer até ao vencimento desse título ?

Á partida podemos distinguir dois valores: 9000,00 que é o valor Nominal ou de Face do título, ou seja, é o valor da quantia que está inscrita no título, e que tem um determinado prazo de vencimento. Se a pessoa a quem foi passado o título o resgatar no banco, na data que nele está inscrita, levanta o total da quantia que neste caso será os 9000,00. Se por qualquer motivo, necessidades financeiras por exemplo, precisar do dinheiro do título e o resgatar antes da data ou prazo nele estabelecido, como os bancos nunca perdem,a pessoa em causa sofre uma penalização. Daí, que dos 9000,00, designado por (VN) Valor Nominal ou (VF) Valor Final, o banco só lhe ter pago 5.490,00, chamado de Valor Actual (VA), Valor Descontado (VD) ou Valor Presente (VP).
A diferença entre os dois valores, ou (D) Desconto [tex3]\,=\,3.510,00[/tex3] e que reverte a favor da banco, é a penalização a que o portador do título se sujeita, por se ter antecipado a resgatar o dito, antes do prazo ou data nele estabelecida.

A fórmula para a resolução do problema é a seguinte:

[tex3]\boxed{VA\text{ ou }VD = \frac{N}{(1+i^n)}}[/tex3]

[tex3]VA=Valor\ Atual[/tex3]

[tex3]VD=Valor\ Descontado[/tex3]

[tex3]N= Valor\ Nominal[/tex3]

[tex3]i= taxa\ de\ juro[/tex3]

[tex3]n= Periodo\;[/tex3](relativo a tempo, anos, meses, dias)


Também há quem enuncie:

[tex3]\boxed{VP=\frac{VF}{(1+i)^n}}[/tex3]

[tex3]VP=Valor\ Presente[/tex3]

[tex3]VF=Valor\ Final[/tex3]

Seja qual for a versão que escolhamos para a fórmula, acabamos sempre por ter:

[tex3]\boxed{5490=\frac{9000}{(1+0,24)^n}}\;\;\rightarrow\;\;5490=\frac{9000}{1,24^n}\;\;\rightarrow\;\;\frac{5490}{1}=\frac{9000}{1,24^n}[/tex3]

Como queremos achar o valor de [tex3]n[/tex3] vem:

[tex3]1,24^n=\frac{9000\times1}{5490} \;\rightarrow\;1,24^n=1,6393442623[/tex3]

Aplicando logaritmo a cada um dos termos da equação obtemos :

[tex3]n.log\,1,24=log\,1,6393442623\;\rightarrow\;n=\frac{log\,1,6393442623}{log\,1,24}\;\rightarrow\;n=\frac{0,214670164991}{0,093421685162}\;\rightarrow\;[/tex3]

[tex3]\rightarrow\;n=2,29786226419\;\approx\;\boxed{2,298}[/tex3]


Encontrámos deste modo o valor de :[tex3]\,\boxed{2}[/tex3] anos [tex3]\;+ \;0,298\;[/tex3](duzentas e noventa e oito milésimas do ano).

Vejamos a que unidades de tempo corresponde a parte decimal.

Vejamos quanto é [tex3]0,298[/tex3] do ano [tex3]\,=\,12\,[/tex3] meses. [tex3]\;\rightarrow\; 0,298\times 12 = 3,576\,=\, \boxed{3}[/tex3] meses.

Vejamos a quanto corresponde [tex3]\,0,576\,[/tex3] do mês [tex3]\,=\,30\,[/tex3] dias.[tex3]\;\rightarrow\;0,576\times 30\,=\,17,28\,= \,\boxed{17}[/tex3] dias.

Pelo exposto acima, chegamos à seguinte solução:

Prazo: [tex3]\boxed{2{ anos, 3\text{ meses, e }17{ dias}}}[/tex3]

Este seria o tempo que teria que decorrer, desde o levantamento antecipado, que apenas "rendeu" 5.490,00, até à data estipulada no titulo, o que permitiria resgatar a totalidade do mesmo ou Valor Nominal = 9000,00.

Um abraço .