Pré-Vestibular ⇒ (UFU - 2010-2) Geometria Plana Tópico resolvido

[Zambrana]

No triângulo [tex3]ABC[/tex3] abaixo, o segmento [tex3]DE[/tex3] é paralelo ao segmento BC. Sabe-se que [tex3]BC[/tex3] mede [tex3]4 cm[/tex3], [tex3]AB=AC[/tex3] e que a medida do ângulo [tex3]A\hat{B}C[/tex3] é igual a [tex3]30^\circ[/tex3]. Nestas condições, a distância (em [tex3]cm[/tex3]) do segmento [tex3]DE[/tex3] ao vértice [tex3]A[/tex3], para que o triângulo [tex3]ADE[/tex3] e o trapézio [tex3]DBCE[/tex3] tenham a mesma área, é igual a :

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A) [tex3]\sqrt6[/tex3]
B) [tex3]\frac{\sqrt3}{2}[/tex3]
C) [tex3]\frac{\sqrt6}{3}[/tex3]
D) [tex3]\sqrt3[/tex3]

Resposta

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Resposta: [tex3]\frac{\sqrt{6}}{3}[/tex3]

[theblackmamba]

Seja [tex3]h[/tex3] a altura desejada do triângulo ADE. Seja também [tex3]H[/tex3] a altura do trapézio.

[tex3]\overline{DE}=y[/tex3]
[tex3]\angle ABC =\angle ACB=30^{\circ}[/tex3]
[tex3]\angle BAC=120^{\circ}[/tex3]

[tex3]S_{ADE}=S_{DBCE}[/tex3]
[tex3]\frac{y\cdot h}{2}=\frac{(4+y)\cdot H}{2}[/tex3]
[tex3]yh=4H+yH\,\,\Rightarrow \,\,\boxed{y=\frac{4H}{h-H}}[/tex3]

Semelhança:
[tex3]\Delta ADE \sim \Delta ABC[/tex3]
[tex3]\frac{y}{4}=\frac{h}{h+H}\,\,\Rightarrow \,\,\boxed{y=\frac{4h}{H+h}}[/tex3]

Igualando as duas equações com y:
[tex3]\frac{4H}{h-H}=\frac{4h}{H+h}[/tex3]. (note que as medidas não vão depender do valor da base).
[tex3]H^2+Hh=h^2-Hh[/tex3]
[tex3]H^2+2Hh-h^2=0[/tex3]

Por Bhaskara:
[tex3]H=\frac{-2h\pm \sqrt{(2h)^2-4\cdot 1 \cdot (-h^2)}}{2}[/tex3]. Excluimos a raíz negativa.
[tex3]H=\frac{-2h+\sqrt{8h^2}}{2}[/tex3]
[tex3]H=\frac{-2h+h\cdot 2\sqrt{2}}{2}\,\,\Rightarrow \,\,\boxed{H=h\cdot (\sqrt{2}-1)}[/tex3]

Logo a altura do triângulo ABC é:
[tex3]h'=H+h[/tex3]
[tex3]h'=h\sqrt{2}-h+h\,\,\Rightarrow \,\,\boxed{h'=h\sqrt{2}}[/tex3]

Trace esta altura partindo de A até atingir o lado BC no ponto P. Temos um triângulo retângulo APC, com [tex3]\overline{PC}=2\,\text{cm}[/tex3] (pois o triângulo ABC é isósceles. Com isso a altura também é mediana).

Pela relação trigonométrica:
[tex3]tg30^{\circ}=\frac{\overline{AP}}{\overline{PC}}[/tex3]
[tex3]\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{h\sqrt{2}}{2}[/tex3]
[tex3]h=\frac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{h=\frac{\sqrt{6}}{3}}}[/tex3]. Letra C

Qualquer coisa só perguntar.
Grande abraço.

[Zambrana]

Valeu, cara.


Muito boa sua resposta , bem detalhada e elucidativa.


obrigado.