Física II ⇒ Oscilações Harmônicas (MHS) Tópico resolvido

[Lívia003]

Olá, pessoal!

Gostaria muito que me ajudassem a resolver o problema abaixo:

"Dois pequenos corpos idênticos de massas iguais a m e cargas elétricas iguais a Q estão em equilíbrio apoiados sobre uma superfície horizontal lisa e ligados por uma mola de constante elástica R. Nesta configuração, a mola apresenta um comprimento L.Uma pequena perturbação faz com que o sistema saia do equilíbrio e entre em um movimento harmônico. Calcule o período deste movimento. Adote K como a constante elétrica do meio."

fariasbrito.png (19.2 KiB) Exibido 2808 vezes

[tex3]a)\,\,T=2\pi \sqrt{\frac{mL^3}{4KQ^2+2RL^3}}[/tex3]
[tex3]b)\,\,T=\pi \sqrt{\frac{mL^3}{KQ^2+RL^3}}[/tex3]
[tex3]c)\,\,T=2\pi \sqrt{\frac{2mL^3}{4KQ^2+RL^3}}[/tex3]
[tex3]d)\,\,T=2\pi \sqrt{\frac{mL^3}{2KQ^2+RL^3}}[/tex3]

Resposta

---

Gabarito: A

-Bem, a imagem da questão é apenas dois corpos esféricos ligados por uma mola. Acho que não é necessário postá-la aqui...

Tentei achar o período do MHS acima através da massa reduzida do sistema, assim: Mw²= K', tal que K' é igual à parte constante da força restauradora ( apontada para o centro), w=2π/T e M= massa reduzida = m²/2m= m/2.

O problema é que, ao calcular a força central, não estou conseguindo chegar a uma expressão da forma: F=K'.x
Estou fazendo da maneira correta?


Obrigada!! =)

[theblackmamba]

No momento do equilíbrio temos:
[tex3]F_{elast}=F_{elet}[/tex3]
[tex3]RL=\frac{KQ^2}{L^2}[/tex3]

Após a pequena pertubação, pela repulsão as cargas se distanciam uma distância [tex3]x[/tex3] do centro, de modo que a distância entre as cargas passa a ser [tex3]L+2x[/tex3].

Força restauradora:
[tex3]F_r=F_{elet}'-F_{elast}'[/tex3]
[tex3]F_r=\frac{KQ^2}{(L+2x)^2}-R(L+2x)[/tex3]
[tex3]F_r=KQ^2 \left[\frac{1}{(L+2x)^2}-\frac{1}{L^2}\right]-2Rx[/tex3]
[tex3]F_r=-KQ^2\left[\frac{4Lx+4x^2}{L(L+2x)^2}\right]-2Rx[/tex3]

Para o MHS as oscilações são pequenas de modo que podemos considerar [tex3]x<<L[/tex3]:

[tex3]F_r=\frac{-4KQ^2Lx}{L^4}-2Rx=-\frac{4KQ^2+2RL^3}{L^3}x[/tex3]

Como [tex3]F_r=ma[/tex3] e [tex3]a=-\omega^2x[/tex3] temos que:

[tex3]w^2=\frac{4KQ^2+2RL^3}{mL^3}[/tex3] e [tex3]T=\frac{2\pi}{\omega}[/tex3]

Portanto,
[tex3]\boxed{T=2\pi\sqrt{\frac{mL^3}{4KQ^2+2RL^3}}}[/tex3]. Letra A