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Resolver a inequação:
[tex3]x \, + \, \sqrt{x^{2} \, - \, 10x \, + \, 9} \, > \, \sqrt{x \, + \, 2\sqrt{x^{2} \, - \, 10x \, + \, 9}}[/tex3]

Resposta

Gabarito: [tex3]S \, = \, \left\{x \, \in \, \mathbb{R} \, \bigg\rvert\,\,\frac{-45}{4} \, < \, x \, < \, 1 \,\,\, \text{ ou }\,\,\, x \, \geq \, 9\right\}[/tex3]

Olá, pessoal!

Essa questão eu não sei resolver mesmo. Tentei utilizar o método de substituição [tex3]\sqrt{x^{2} \, - \, 10x \, + \, 9} \, = \, y[/tex3] mas não obtive sucesso. Alguém pode me ajudar?

Estou a um tempo nessa questão... Alguém poderia ajudar?

Eu consegui resolver aqui. Primeiramente analisemos as condições de existência:

[tex3]x^2-10x+9\geq 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ (x-1)(x-9)\geq 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ x\leq -1\ \ \ \text{ou} \ \ \ x \geq 9 \ \ \ \ \ (I)[/tex3]

Resolvendo a inequação:

[tex3]\left[x+ \sqrt{x^2-10x+9}\right]^2 > \left[\sqrt{x + 2\sqrt{x^2-10x+9}}\right]^2 \Leftrightarrow 4x^3+37x^2-86x+45 >0[/tex3]

Esse polinômio do terceiro grau tem, como uma das raízes, [tex3]x=1[/tex3]. Com isso, aplicando o método das chaves e dividindo duas vezes consecutivas por [tex3](x-1)[/tex3], encontramos:

[tex3]4x^3+37x^2-86x+45 >0 \Leftrightarrow (x-1)(x-1)(4x+45) >0 \Leftrightarrow \frac{-45}{4}<x<1 \ \ \ \ (II)[/tex3]

Com (I) e (II), concluímos que:

[tex3]S= \{x \in \mathbb{R} | \frac{-45}{4} < x < -1 \ \ \text{ou} \ \ x \geq 9 \}[/tex3]

Eu resumi aqui. Na verdade, eu tive que elevar duas vezes a inequação inicial ao quadrado. O resto é "algebrismo".
Qualquer dúvida, pode perguntar.
Vou fechar essa questão como respondida.

como posso ter certeza que o segundo membro da inequaçao é maior que zero quando for elevar ao quadrado pela segunda vez?

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Inequações irracionais

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