Ensino Superior ⇒ Máximos, Mínimos e Esboço do Gráfico de uma Função

[JBP]

[tex3]F(X)=2X^3+3X^2-12X-7[/tex3] Trace o gráfico da funcão utilizando a derivada e indique os maximos e mínimos relativos e região onde é crescente e decrescente.

[John]

Seja [tex3]f(x) = 2x^{3} + 3x^{2}-12x - 7[/tex3].
I) Domínio de [tex3]f(x)[/tex3] é [tex3]\Re[/tex3].

II) Derivada de ordem 1.

[tex3]f'(x) = 6x^{2} + 6x - 12[/tex3].

[tex3]f'(x) = 0 \Longleftrightarrow 6x^{2} + 6x - 12 = 0 \Longleftrightarrow x = -2[/tex3] ou [tex3]x = 1[/tex3].

Assim,

[tex3]f'(x) \gt 0 \Longleftrightarrow x \in ]-\infty, -2[ \cup ]1, +\infty[[/tex3]. Então, [tex3]f(x)[/tex3] é estritamente crescente em [tex3]]-\infty, -2] \cup [1, +\infty[[/tex3].

[tex3]f'(x) \lt 0 \Longleftrightarrow x \in ]-2, 1[[/tex3]. Então, [tex3]f(x)[/tex3] é estritamente decrescente em [tex3][-2, 1][/tex3].

Obs: Podemos fechar o intervalo pela continuidade de [tex3]f(x)[/tex3].

III) Derivada de Ordem 2.

[tex3]f''(x) = 12x + 6[/tex3]

[tex3]f''(x) = 12x + 6 = 0 \Longleftrightarrow x = -\frac{1}{2}[/tex3].

Logo,

[tex3]f''(x) \gt 0 \Longleftrightarrow x \in ]-1/2, +\infty[[/tex3]. Então, [tex3]f(x)[/tex3] tem concavidade voltada para cima em [tex3]]-1/2, +\infty[[/tex3].

[tex3]f''(x) \lt 0 \Longleftrightarrow x \in ]-\infty, -1/2[[/tex3]. Então, [tex3]f(x)[/tex3] tem concavidade voltada para baixo em [tex3]]-\infty, -1/2[[/tex3].

Como [tex3]f''(-2) = -18 \lt 0 \Longrightarrow x = -2[/tex3] é ponto de máximo local.

Como [tex3]f''(1) = 18 \gt 0 \Longrightarrow x = 1[/tex3] é ponto de mínimo local.

IV)

[tex3]\lim _{x \longrightarrow +\infty} f(x) = +\infty[/tex3] e [tex3]\lim _{x \longrightarrow -\infty} f(x) = -\infty[/tex3].

V) [tex3]f(-2) = 13, f(1) = -14, f(-1/2) = -1/2[/tex3].

Com estes dados vc consegue fazer um esboço do gráfico de f(x). Tente achar aproximadamente as raízes de f(x).