Ensino Médio ⇒ Geometria Espacial: Sólidos de Revolução

[PiRaNGuErOoO]

Seja o triângulo cujos vértices são as intersecções das retas de equações [tex3]x=0,\text{ }x-4y=0 \text{ e } x+y-5=0.[/tex3] A rotação desse triângulo em torno do eixo das coordenadas gera um sólido cujo volume é:

a) [tex3]\frac{16\pi}{3}[/tex3]
b) [tex3]\frac{64\pi}{3}[/tex3]
c) [tex3]\frac{80\pi}{3}[/tex3]
d) [tex3]\frac{88\pi}{3}[/tex3]
e) [tex3]\frac{92\pi}{3}[/tex3]

[Thales Gheós]

Traçando os gráficos das retas [tex3]y=-x+5[/tex3] e [tex3]y=\frac{x}{4}[/tex3] obtemos a figura abaixo.

• 

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O volume do sólido gerado pode ser encontrado pela integral

• [tex3]V=\int_0^42\pi x\cdot \left(-x+5-\frac{x}{4}\right)dx= \frac{5\pi}{2}\int_0^4(4x-x^2)dx =\frac{5\pi}{2}\cdot \left[2x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^4=\frac{80\pi}{3}.[/tex3]

[fabit]

Trata-se de um par de cones circulares com as bases justapostas. O volume é o mesmo que o de um único cone com mesma base e altura igual à soma das alturas dos dois conezinhos (para convencer-se disso, pense na fórmula colocando em evidência [tex3]\frac{A_b}{3}).[/tex3]

Como [tex3]A_b= \pi \times 4^2 =16\pi[/tex3] e [tex3]h=5,[/tex3] vem

• [tex3]V=\frac{1}{3}\times 16\pi \times 5=\text{\frac{80\pi}{3} u.v.}[/tex3]