IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 2002) Sistema de Numeração Decimal Tópico resolvido

[rean]

Se [tex3]a,\, b[/tex3] e [tex3]c[/tex3] são algarismos distintos, no sistema de numeração decimal existe um único número de dois algarismos [tex3](ab)[/tex3] tal que [tex3](ab)^2 - (ba)^2 = (cc)^2.[/tex3]
O valor de [tex3]a +b + c[/tex3] é iqual a:

a) [tex3]11[/tex3]
b) [tex3]12[/tex3]
c) [tex3]13[/tex3]
d) [tex3]14[/tex3]
e) [tex3]15[/tex3]

Resposta:

---

d

[Bruno Fraga]

Sendo [tex3](ab)[/tex3] um número de dois algarismos, temos:

• [tex3](ab) = 10a + b[/tex3]

Analogamente:

• [tex3](ba) = 10b + a, (cc) = 10c + c = 11c[/tex3]

Então:

• [tex3](10a+b)^{2} - (10b+a)^{2} = (11c)^{2}[/tex3]
  [tex3]100a^{2}+20ab+b^{2}-100b^{2}-20ab-a^{2} = 121c^{2}[/tex3]
  [tex3]99a^{2}-99b^{2}=121c^{2}[/tex3]
  [tex3]9(a^{2}-b^{2})=11c^{2}[/tex3]

Como [tex3]a, b[/tex3] e [tex3]c[/tex3] são inteiros, podemos supor a seguinte solução para esta equação:

• [tex3]c^{2} = 9,[/tex3] ou seja, [tex3]c = 3[/tex3]
  
  [tex3]a^{2}-b^{2} = 11[/tex3]

De onde:

• [tex3]a^{2} = 36[/tex3] e [tex3]b^{2} = 25.[/tex3]

Logo:

• [tex3]a = 6,[/tex3] [tex3]b = 5[/tex3]

Finalmente:

• [tex3]a + b + c = 6 + 5 + 3 = 14[/tex3]