IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 2006) Geometria Plana: Quadriláteros Tópico resolvido

[alinebotelho]

Em um quadrado [tex3]ABCD[/tex3] de lado [tex3]10,[/tex3] toma-se internamente sobre o lado [tex3]CD[/tex3] o ponto [tex3]P,[/tex3] que dista [tex3]4[/tex3] do vértice [tex3]C[/tex3] e internamente sobre o lado [tex3]BC,[/tex3] o ponto [tex3]Q,[/tex3] de modo que os triângulos [tex3]ADP[/tex3] e [tex3]PCQ[/tex3] sejam semelhantes, com o segmento [tex3]CQ[/tex3] menor possível. Nessas condições, o ângulo [tex3]B\hat{A}Q[/tex3] será igual ao ângulo:

a) [tex3]A\hat PB[/tex3]
b) [tex3]P\hat AQ[/tex3]
c) [tex3]P\hat AC[/tex3]
d) [tex3]B\hat PQ[/tex3]
e) [tex3]A\hat QP[/tex3]

[fabit]

Letra d: [tex3]B\hat AQ = B\hat PQ.[/tex3]

Olha, não vou escrever o desenvolvimento das contas aqui. Só te digo que não consegui achar uma forma de evitar o trabalho que tive. Meu caminho foi por Pitágoras e Lei dos Cossenos.

Primeiramente, [tex3]CQ=2,4[/tex3] para que [tex3]PCQ[/tex3] seja semelhante a [tex3]ADP,[/tex3] pois

• [tex3]\frac{PD}{AD}=\frac{CQ}{CP}\Longrightarrow \frac{6}{10}=\frac{CQ}{4}[/tex3].

Conseqüentemente [tex3]PQ=7,6.[/tex3]

Aí, por Pitágoras:

• [tex3]\left|\begin{array}{l} AP=\sqrt{136}\\ AC=\sqrt{200} \\ AQ=\sqrt{157,76} \\ PB=\sqrt{116} \\ PQ=\sqrt{21,76}\end{array}\right.[/tex3]

Agora dá-lhe Lei dos Cossenos para tirar os cossenos dos ângulos das alternativas, um por um, usando as medidas de cada triângulo.

Separadamente, com [tex3]\frac{AB}{AQ}[/tex3] calculo o cosseno do ângulo [tex3]B\hat A Q[/tex3] e vejo que é igual ao de [tex3]B\hat PQ.[/tex3]

É isso.
Abraço.