Pré-Vestibular ⇒ (UFES) Polinômios Tópico resolvido

[leigo]

Se [tex3]P(x)[/tex3] é um polinômio [tex3]P(-3)=a[/tex3], [tex3]P(5)=-a[/tex3], em que [tex3]a\neq0[/tex3], então o resto da divisão de [tex3]P(x)[/tex3] por [tex3](x + 3). (x - 5)[/tex3] igual:

a) [tex3]\frac{a(-x+1)}{4}[/tex3]
b) [tex3]\frac{a(-x-1)}{4}[/tex3]
c) [tex3]\frac{a}{4}[/tex3]
d) [tex3]\frac{a(x+1)}{4}[/tex3]
e) [tex3]\frac{a(x-1)}{4}[/tex3]

Resposta

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a

[roberto]

O resto da div. de [tex3]P(x)[/tex3] pelo produto [tex3](x+3)(x-5)[/tex3] é no máx. do 1º grau,( pois o divisor é do 2º):

Podemos escrever [tex3]P(x)[/tex3], assim: [tex3]P(x)= (x+3)(x-5). Q(x)+ R(x)[/tex3], onde [tex3]R(x)=\varphi x+b[/tex3]

Então: [tex3]P(x)= (x+3)(x-5). Q(x)+\varphi x+b[/tex3]

Fazendo [tex3]x=-3[/tex3] e depois [tex3]x=5[/tex3], teremos:

[tex3]-3\varphi+b=a[/tex3] e
[tex3]5\varphi+b=-a[/tex3]

Resolvendo esse sistema, encontramos: [tex3]\varphi=\frac{-1a}{4}[/tex3]

e [tex3]b=\frac{a}{4}[/tex3]

Substituindo esses valores em [tex3]R(x)=\varphi x+b[/tex3]

temos a resposta: alternativa: a