Físico-Química ⇒ Teoria Cinética dos Gases Tópico resolvido

[Leandro]

Tenho uma dúvida.

A fórmula pra velocidade v média de uma molécula de gás é dada por: [tex3]v = \sqrt{\frac{3RT}{MOL}}[/tex3]

A energia de translação [tex3]E_T[/tex3] é dada por: [tex3]E_T = \frac{mv^{2}}{2} = \frac{RT}{N}[/tex3]

Isolando a velocidade: [tex3]v = \sqrt{\frac{2RT}{MOL}}[/tex3]

A dúvida é: POR QUE essa igualdade não bate com a fórmula? POR QUÊ?

[gabrielbpf]

Olá, Leandro!

Vou tentar explicar desde o começo, cara!

As moléculas dum gás ideal dentro de um recipiente colidem várias vezes com a parede e com as outras moléculas do próprio gás, transferindo momento linear por meio de impulso!

A energia interna de um gás ideal é a soma das energias cinéticas médias de todas as moléculas que o constituem.

Pensando em UMA molécula:

[tex3]I=\Delta\vec{Q}\ \Rightarrow\ -F\,\Delta T=m(v_x'-v_x)[/tex3]. Considerando a colisão perfeitamente elástica, teremos [tex3]\Delta E_c=0[/tex3], o que nos dá a equação [tex3]I=2mv_x[/tex3]

A força exercida por N moléculas num choque contra a parede é dada por [tex3]F=pA\ \Rightarrow\ F=\frac{nRT}{V}A\ \therefore\ F=\frac{NRT}{N_A L}[/tex3]

Considerando que o tempo gasto, para calcular o impulso, é o intervalo entre dois choques com a MESMA parede, teremos que:
[tex3]\Delta T=\frac{2L}{v_x}[/tex3]

Voltando a pensar em uma molécula, veremos que:[tex3]\frac{F}{N}\cdot\frac{2L}{v_x}\ \Rightarrow\ \frac{RT}{N_A L}\cdot\frac{2L}{v_x}
\ \Rightarrow\ v_x=\sqrt{\frac{RT}{mN_A}}[/tex3]

[tex3]mN_A=M[/tex3]

[tex3]v_x=\sqrt{\frac{RT}{M}}[/tex3]

Aumentando-se a temperatura, percebemos que as partículas passam a ter mais de uma direção da velocidade... nós teremos como resultante, um valor numericamente igual ao da hipotenusa de um triângulo retângulo formado por [tex3]V[/tex3], [tex3]v_x[/tex3] e [tex3]v_y[/tex3], com [tex3]v_x=v_y[/tex3], pois há a mesma probabilidade de ocorrência para as duas situações!

[tex3]V^2=\frac{2RT}{M}[/tex3]

Suponhamos então que o recipiente tem três dimensões... aumentaremos uma direção no movimento...

[tex3]V=\sqrt{\frac{3RT}{M}}[/tex3]

A energia de UMA só molécula, sabemos que [tex3]E_c=\frac{mv^2}{2}[/tex3]... substituindo [tex3]v[/tex3] pela expressão supracitada: [tex3]E_c=\frac{3RT}{2N_A}[/tex3]

Para N moléculas, teremos a energia interna, dada por [tex3]U=N\cdot E_c\ \Rightarrow\ U=\frac{3}{2}nRT[/tex3]

Perceba então, que a energia cinética de translação de um gás ideal é [tex3]E_t=\frac{3RT}{2N_A}=\frac{3kT}{2}[/tex3]

Espero ter ajudado...

Se alguma coisa não estiver clara, pode perguntar!

[gabrielbpf]

Sabe... me interessei por esse conteúdo e passei a noite estudando-o depois de responder à sua pergunta...

Eu percebi que a fórmula que você usou para a energia translacional representava um gás que se movia em apenas duas dimensões, o que é inviável, percebe?

Um gás ideal monoatômico se movimenta translacionalmente em três dimensões... Esse é o mínimo possível, imagino eu. Talvez existam ocasiões especiais, mas não consigo pensar agora.

Bom, essa energia é um reflexo de uma porção menor de energia associada a cada molécula que se movimenta num sentido, representada por [tex3]\frac{k_bT}{2}[/tex3], seja [tex3]k_b[/tex3] a constante de Boltzmann.

Não há, para um gás, uma direção preferencial, o que nos sugere que as velocidades, em qualquer que seja a direção, seja sempre a mesma (em gás ideal, consideramos as colisões perfeitamente elásticas, como já disse no comentário acima).

Para um gás ideal diatômico, teremos cinco graus de liberdade! Isso porque há a possibilidade de rotação em torno de dois dos três eixos... dessa forma, teríamos [tex3]E_c=\frac{5}{2}k_bT[/tex3]...
Ainda há a possibilidade de ocorrer vibração em dois eixos, o que nos daria uma energia total de [tex3]\frac{7}{2}k_bT[/tex3]...

Tentei ser o mais breve possível!

Espero ter ajudado!

[Leandro]

Muito obrigado pela resposta.

Concordo que faça total sentido. Porém, no meu livro tá Et = kT ¬¬

[Leandro]

Ah, acho que descobri o que acontece no meu livro: lá, invés de denotar a constante por k, escreveram como c. Provavelmente tomaram o termo [tex3]\frac{f}{2}k_B[/tex3] como sendo c.