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Determinar os valores de m e k, de modo que seja possível e indeterminado o sistema

[tex3]\begin{cases}x + 2y -mz = -1\\3x - y + z = 4\\-2x + 4y -2z = k\end{cases}[/tex3]

Olá, Leandro!

Podemos associar o sistema a uma equação matricial...

Vamos utilizar a matriz incompleta do sistema:

Para que o sistema seja possível e indeterminado ou impossível, o determinante da matriz incompleta deve ser nulo.

[tex3]\left|\begin{array}{cc} 1 & 2 & -m \\ 3 & -1 & 1 \\ -2 & 4 & -2\end{array}\right|\ =\ 0 \ \xrightarrow \ 10m \ = \ 6 \ \therefore \ \ m=\frac{3}{5}[/tex3]

Eu consegui até aí... agora vou copiar uma resposta que encontrei aqui pela internet... Não saberei explicar, pois também não entendi o porquê e por isso espero que alguém venha a explicar...

Utilizando a matriz do sistema em utilizamos os resultados em vez dos coeficientes de [tex3]z[/tex3]...

[tex3]\left|\begin{array}{cc} 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 4 \\ -2 & 4 & -k\end{array}\right| \ = \ 0 \ \xrightarrow \ 7k+42=0 \ \therefore \ k=-6[/tex3]

Espero ter ajudado pelo menos com a primeira parte...

Escalonando a matriz completa, obteremos:

[tex3]\left|\begin{array}{cc} 1 && 2 && -m&&-1 \\ 0 && -7 && 3m+1&&7 \\ 0 && 0&& \left(\frac{10m-6}{7}\right)&&(k+6)\end{array}\right|[/tex3]

Pelo teorema de Capelli, para que o sistema seja indeterminado, a última linha deve ser igual a zero. Portanto:

[tex3]\boxed{m=\frac{3}{5}}[/tex3] e [tex3]\boxed{k=-6}[/tex3]

Abraços.

Agradeço a ambos pelas respostas!

Gabriel, retribuindo o obséquio de me responder: pelo teorema de Rouché-Capelli, um sistema é indeterminado quando p = q < n , onde p é a característica da matriz principal (matriz formada pelos coeficientes das variáveis do sistema), q é a característica da matriz completa (matriz formada pelos coeficientes mais a coluna dos termos independentes) e n é o número de incógnitas.

A matriz principal tem determinante nulo e, analisando um pouco se percebe que sua característica é 2. Para que a característica da matriz completa seja 2, o determinante de ordem máxima da matriz completa (determinante de ordem 3) deve ser nulo. Por isso daquela igualdade alí.