Ensino Médio ⇒ Equações Polinomiais e Logaritmos Tópico resolvido

[Daniel Hartmann]

Se [tex3]a\gt 1[/tex3], determine o valor real de [tex3]m[/tex3] para o qual a equação [tex3]x^3 - 9x^2 + \left[\ell n (a^m)+8\right].x - \ell n a^m = 0[/tex3] tenha raízes em progressão aritmética.

Olá pessoal. Eu retirei essa questão de outro fórum de matemática. Achei-a muito complicada de resolver e coloquei aqui para ver se alguém pode me ajudar a resolvê-la...

Até mais!

[Eduardo]

esse 8 esta dentro do log mesmo? porque chega numa equacao muito complicada por causa desse 8 ai dentro...

caso seja [tex3][\ell n(a^m)+8].x[/tex3] não é tão difícil

não sei se consigo resolver com matematica do ensino medio da maneira que está.. se confirmar que sim tento de algumas maneiras diferentes

[Daniel Hartmann]

Olá Eduardo. Eu digitei errado mesmo... também acredito fielmente que este 8 está fora do log, mas ainda assim eu não consigo resolver...

[Eduardo]

chamando as raizes de [tex3]q - r,[/tex3] [tex3]q[/tex3] e [tex3]q + r:[/tex3]

bom o jeito mais facil e utilizar Girard, mas caso nao consiga fazer isso basta desenvolver o polinomio utilizando as raizes:

[tex3](x- (q-r)) . (x - q) . (x- (q+r))[/tex3]

com isso se acha o segunite polinômio:

[tex3]x^3 - 3.q.x^2 + (3.q^2 - r^2).x - (q^3 - q.r^2)[/tex3]

que podemos igualar ao polinomio da questao:

[tex3]3.q=9[/tex3]
[tex3](3.q^2 - r^2)=\ell n(a^m)+8[/tex3]
[tex3](q^3 - q.r^2)=\ell n(a^m)[/tex3]

substituindo [tex3]q = 3[/tex3] nas outras duas:

[tex3](27 - r^2)=\ell n(a^m)+8[/tex3]
[tex3](27 - 3.r^2)=\ell n(a^m)[/tex3]

subtraindo a primeira da segunda:

[tex3]2.r^2=8[/tex3]
[tex3]r=\pm 2[/tex3]

ou seja, as raízes são 1,3,5 (não faz diferença se usar 2 ou -2) mas não é isso que desejamos calcular, então:

[tex3](27 - 3.r^2)=\ell n(a^m)[/tex3]
[tex3]15=\ell n(a^m)[/tex3]
[tex3]15=m.\ell n(a)[/tex3]
[tex3]m=\frac{15}{\ell n(a)}[/tex3]

[Daniel Hartmann]

Muito obrigado Eduardo!

Até mais!