Pré-Vestibular ⇒ (Unicamp-1994) Polinômios

[AlexAndrade20]

(Unicamp-1994) Determine o quociente e o resto da divisão de [tex3]x^{100}[/tex3] + x + 1 por x² - 1.

[Aron]

Para o quociente não têm jeito, tem que fazer a divisão no braço mesmo e ver o padrão. Mas para o resto eu utilizo congruência.

[tex3]x^{100}+x+1\, \, (mod\, x^2-1\,)[/tex3]

sabemos que

[tex3]x^2-1\equiv 0\, \, \, (mod\,x^2-1)\Rightarrow x^2\equiv1\, \, \, (mod\,x^2-1)[/tex3]

Voltando ao inicio

[tex3](x^2)^{50}+x+1\equiv y \, \, \, (mod\,x^2-1)[/tex3] sendo [tex3]y[/tex3] o resto da divisão

A substituindo o valor encontrado no polinômio

[tex3]1^{50}+x+1\equiv y \, \, \, (mod\,x^2-1)[/tex3]

[tex3]x+2\equiv y \, \, \, (mod\,x^2-1)[/tex3]

Espero que seja isso.

Até.