Pré-Vestibular ⇒ (UFRGS) Progressão Aritmética

[mawapa]

Considere o enunciado abaixo, que descreve etapas de uma contrução.
Na primeira etapa, toma-se um quadrado de lado 1. Na segunda, justapõe-se um novo quadrado de lado 1 adjacente a cada lado doquadrado inicial. Em cada nova etapa, justapõem-se novos quadrados de lado 1 ao longo de todo o bordo da figura obtida na etapa anterior, como está representado abaixo.

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Seguindo esse padrão de construção, pode-se afirmar que o número de quadrados de lado 1 na vigésima etapa é

a) 758
b) 759
c) 760
d) 761
e) 762

[Thales Gheós]

Olá mawapa,

acho que a formação é esta:

A102.png (55.63 KiB) Exibido 12879 vezes

Se [tex3]n[/tex3] é o número de ordem da figura, o eixo maior tem [tex3](2n-1)[/tex3] quadrados, a figura toda a partir da terceira tem [tex3](2n-1)^2-4.a_{n-2}[/tex3] onde [tex3]a_n[/tex3] é o último têrmo de uma PA de razão 3, sendo a vigésima figura a do têrmo [tex3]a_n=18[/tex3].Essa figura terá [tex3](40-1)^2-4.a_{18}[/tex3] quadrados.

[mawapa]

Olá Thales!!

Não sei se entendi muito bem a sua resolução, pela sua lei de formação a equação seria essa não é:

[tex3](40 - 1)^2 - 4\cdot 54[/tex3]

o [tex3]a_{18} = 54[/tex3]

Isso dária [tex3]1305[/tex3] quadrados...

Seria assim a sua resolução?


Andei pensando e descobri um outro jeito de fazer, isso que eu gosto nesses exercícios, há vários raciocínios para resolvê-los.

[tex3](1,5,13,25):[/tex3] número de quadrados de cada etapa

Bom, a cada etapa ele recebe uma quantidade de quadrados; da primeira para a segunda ele recebeu 4, da segunda para terceira recebeu 8, a próxima 12, etc. Daí fica uma PA de razão 4.

[tex3](4,8,12,16,\ldots)[/tex3]

note que somando os termo da PA você tem o número de quadrados da próxima etapa -1, por exemplo:

[tex3]4 = 5 -1\\
4 + 8 = 13 - 1\\
4 + 8 + 12 = 25 - 1[/tex3]

esse [tex3]{-}1[/tex3] é porque não estamos contando a primeira etapa que é um quadrado só.
Então somando os [tex3]19[/tex3] termos [tex3]+ 1,[/tex3] temos:

[tex3]a_{19} = 76[/tex3]

[tex3]S_t = (4 + 76).\frac{19}{2} + 1[/tex3]

[tex3]S_t = 761[/tex3]

Se alguém souber outros modos de resolver postem aí.

T+
flw!

[Thales Gheós]

Tem razão mawapa, se eu tivesse interpretado melhor minhas figuras teria chegado em:

[tex3](2n-1)+(2n-2)+4.(\frac{n-1}{2}.(n-2))=N[/tex3]

que para n=20 dá:

[tex3](2.20-1)+(2.20-2)+4.(\frac{20-1}{2}.(20-2))[/tex3]

[tex3]39+38+684=761[/tex3]