Estude! Com Prof. Caju

Uma fonte luminosa puntiforme está a uma profundidade [tex3]h[/tex3] abaixo da superfície de um lago suficientemente grande em extensão e profundidade. Seja [tex3]n[/tex3] o índice de refração da água. Da energia total emitida, [tex3]f[/tex3] é a fração que escapa diretamente da superfície líquida, desprezando a absorção da luz na água e a reflexão que não for total.

Nessas condições podemos afirmar que:

a) [tex3]f[/tex3] aumenta se [tex3]h[/tex3] aumentar
b) [tex3]f[/tex3] diminui se [tex3]h[/tex3] aumentar
c) [tex3]f = \frac{1}{n}[/tex3]
d) [tex3]f = \frac{1}{2} - \frac{1}{2n\sqrt{n^2-1}}[/tex3]
e) [tex3]N.D.A[/tex3]

alguém?

Velho, acredito que a resposta tenha um pequeno erro, a raiz de n² -1 deveria estar no numerador e não no denominador!

De qualquer forma a "morta" do problema é tu considerar os raios de luz formando uma esfera, porém somente uma parte deles sairá da água (aqueles que não sofrerem reflexão total)!

Então divide a área da esfera pela área da calota que dá D!

Abraço

Obs: Escrevi o contrário, o certo é o raio da calota pelo raio da esfera!

Sim, a resposta realmente tem um erro. É como você falou Diego, a raiz deve estar no numerador.
E a saída é essa que você falou mesmo!

Abraços!

Olá.

Eu estou curioso quanto à resolução dessa questão... Poderiam postá-la, para que o tópico não fique sem resposta?

Abraços.

Não sei trabalhar bem com latex ou figuras pra montar um resolução melhor, deixo pra alguém que saiba fazer isso. Mas foi oque eu falei lá em cima, o resto é matemática.

Olá, vamos a resolução:

Utilizaremos o conceito de ângulo sólido na solução do problema. Podemos defini-lo(Para esse caso) como sendo:
[tex3]\Omega = 2\pi(1-\cos\theta)[/tex3]

(i) Cálculo do ângulo limite:
[tex3]\sin\theta = \frac{1}{n} \rightarrow \cos\theta = \frac{\sqrt{n^2 - 1}}{n}[/tex3]

(ii)Ângulo sólido compreendido pela calota esférica por onde a energia consegue escapar:
[tex3]\Omega = 2\pi(1-\frac{\sqrt{n^2 - 1}}{n})[/tex3]

(iii) Portanto a fração pedida é:
[tex3]f = \frac{2\pi(1-\frac{\sqrt{n^2 - 1}}{n})}{4\pi}= \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{n^2-1}}{2n}[/tex3] (Gabarito zuado, xD)

Obs: Entendendo melhor a solução: * Na figura: [tex3]L = \theta = \text {Angulo limite}[/tex3]
** É considerado propagação esférica da onda, por isso utilizamos ângulo sólido.
*** Por em (iii) dividimos por [tex3]4\pi[/tex3]?
O ângulo sólido que compreende toda esfera vale [tex3]4\pi[/tex3]. Logo, para obter a fração desejada temos que dividir o ângulo que compreende a parte que escapa pela superfície pelo ângulo total que compreende toda "esfera de propagação".

Espero que tenha dado uma luz ai, a imagem no paint nao ficou muito supimpa, mas tá valendo. xD
Abraços.

A prova do ITA não aborda o conceito de ângulo sólido. Sejamos mais simplistas:

A fração f será proporcional à razão entre a área da calota (parte da onda esférica que fica pra fora do lago) e a área total da esfera.
Utilizando a ilustração acima, considere que a esfera maior possui raio R.

(i) Reflexão total no ângulo limite:
[tex3]n.sen\theta=1.sen90^{o}\rightarrow sen\theta =\frac{1}{n}[/tex3]
* [tex3]cos\theta=\frac{h}{R}\rightarrow R=\frac{h}{cos\theta }[/tex3]
* [tex3]H=R-h=h\left(\frac{1-cos\theta }{cos\theta }\right)[/tex3]

(ii) Área da calota ([tex3]S_1[/tex3]):
[tex3]S_1=2\pi RH=2\pi \left(\frac{h}{cos\theta }\right).h\left(\frac{1-cos\theta }{cos\theta }\right)[/tex3]
* [tex3]cos^2\theta+sen^2\theta =1\rightarrow cos^2\theta =1-\frac{1}{n^2}[/tex3]
[tex3]\rightarrow S_1=\frac{2\pi h^2n(n-\sqrt{n^2-1})}{n^2-1}[/tex3]

(iii) Área total ([tex3]S_T[/tex3]):
[tex3]S_T=4\pi R^2=\frac{4\pi h^2n^2}{n^2-1}[/tex3]

Logo:
[tex3]\frac{S_1}{S_T}=\frac{\frac{2\pi h^2n^2(n-\sqrt{n^2-1})}{n^2-1}}{\frac{4\pi h^2n^2}{n^2-1}}=\frac{1}{2}.\left(1-\frac{\sqrt{n^2-1}}{n}\right)[/tex3]