IME/ITA ⇒ (Escola Naval - 2012) Mecânica Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Um bloco de massa [tex3]M=1,00\text{ kg}[/tex3] executa, preso a uma mola de constante [tex3]k=100\text{ N/m}[/tex3], um [tex3]MHS[/tex3] de amplitude [tex3]A\text{ cm}[/tex3] ao longo do plano inclinado mostrado na figura. Não há atrito em qualquer parte do sistema. Na posição de altura máxima, a mola está comprimida e exerce sobre o bloco uma força elástica de módulo igual a [tex3]3,00\text{ N}[/tex3]. A velocidade do bloco, em [tex3]m/s[/tex3], ao passar pela posição de equilíbrio é

Plano.jpg (31.66 KiB) Exibido 4736 vezes

(A) [tex3]1,10[/tex3]
(B) [tex3]0,800[/tex3]
(C) [tex3]0,500[/tex3]
(D) [tex3]0,300[/tex3]
(E) [tex3]0,200[/tex3]

Resposta

---

Gab.: B

[LPavaNNN]

[tex3]F=k.A\\3=100.A\\A=3.10^{-2}[/tex3]

Então ja achamos a amplitude. Vamos resolver usando energia. No sistema, só atua força peso, e força elástica, forças conservativas, por tanto, n haverá perda de energia:

[tex3]Emeci=Emec\\\frac{K.A^2}{2}+mg'h=\frac{mv^2}{2}[/tex3]

a gravidade usada, deve ser a gravidade na direção da rampa :
[tex3]sen\alpha.g=g'\\g'=\frac{1}{2}.10\\g'=5[/tex3]

no lado direito da equação das energias mecânicas não tem energia potencial gravitacional, ou seja, estou considerando a altura de equilíbrio como referencia, sendo assim, é necessário descobrir quão mais alto estão o bloco, na amplitude máxima.

[tex3]A=3.10^{-2}[/tex3] como essa amplitude é em direção da rampa, então a altura é dada por : [tex3]sen\alpha=\frac{h}{d}\\h=\frac{1}{2}.3.10^{-2}\\h=1,5.10^{-2}m\\\\\frac{1.10^2.(3.10^{-2})^2}{2}+1.5.1,5.10^{-2}=\frac{1.v^2}{2}\\9.10^{-2}+2.7,5.10^{-2}=v^2\\v=\sqrt{24.10^{-2}}\\v=0,5 m.s^{-1}[/tex3]

[aleixoreis]

Mola.png (6.04 KiB) Exibido 4704 vezes

Prezado LPavaNNN:
Sinto discordar da sua solução.Vejo que vc não considerou que o bloco quando passa pela posição de equilíbrio continua seu movimento pela inércia, o que produz um elongamento da mola.
Também não entendi porque vc considerou uma gravidade [tex3]g'[/tex3].

A minha solução também não concorda com a resposta da letra (B) e por isso solicito aos que sabem mais Física dessem a sua opinião no caso presente.

De acordo com a figura temos a posição A (quando a mola está comprimida), a posição B (mola no posição de equilíbrio) e posição C (mola elongada por ação da inércia do bloco).
[tex3]F=kx\rightarrow x=\frac{3}{100}=0,03m[/tex3] que é a compressão da mola.
A energia da mola na posição A é a mesma quando a mola atinge a posição C, então: [tex3]mgh_1+\frac{kx^2}{2}=\frac{k(D-0,03)^2}{2}[/tex3]
[tex3]1.10.D.sen30^{\circ}+\frac{100.(0,03)^2}{2}=\frac{100(D^2+0,03^2-2.D.0,03)}{2}\rightarrow D=0,16[/tex3]
Se [tex3]D=0,16\rightarrow d=0,16-0,03=0,13[/tex3]
Temos: [tex3]h_ 2=dsen30^{\circ}\rightarrow h_2=\frac{0,13}{2}=0,065[/tex3]
Ao passar pela posição de equilíbrio B o corpo terá uma energia cinética e uma energia potencial que serão transferidas para a mola quando esta se alongar.
[tex3]\frac{mv^2}{2}+m.g.h_2=\frac{k.d^2}{2}\rightarrow \frac{1.v^2}{2}+1.10.0,065=\frac{100.0.13^2}{2}\rightarrow v=0,62m/s[/tex3]

Penso que é isso.
[ ]'s.

[Radius]

tomei como origem da energia potencial a posição de equilíbrio do MHS.

Assim [tex3]\sin 30=\frac{r}{A}[/tex3]
(r é a altura máxima do bloco em relação à posição de equilíbrio)

Usando cons. de energia:

[tex3]Mgr+\frac{kA^2}{2}=\frac{Mv^2}{2}[/tex3]

substituindo os dados vamos achar [tex3]\boxed{v=\sqrt{0,39}=0,6245\,m/s}[/tex3]

[LPavaNNN]

Minha solução ficou diferente mesmo, coloquei g errado, mas pq eu planejava fazer algo com esse g', e confundi, a resposta daria a mesma, mas nenhuma das respostas, bate com a oficial, estamos esquecendo de algo...

[aleixoreis]

Prezado LPavaNNN:
Na minha opinião o que está errado é o gabarito.
[ ]'s.

[ALDRINMOD]

Me passaram as seguintes resoluções:

[tex3]Fel = P.sen30^\circ[/tex3]
[tex3]kx = mg.\frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]100x=5[/tex3]
[tex3]x=0,05\text{ m}[/tex3] (mola esticada)

Altura máxima:

[tex3]Fel=kx[/tex3]
[tex3]3 = 100x[/tex3]
[tex3]x=0,03 m[/tex3] (mola comprimida)

Então, da altura máxima à posição de equilíbrio há [tex3]0,05+0,03 = 0,08\text{ m}[/tex3]

A energia é a mesma nos dois casos, portanto:

[tex3]m.g.h +\frac{kx^2}{2}= \frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2}[/tex3]
[tex3]10 \time0,08\time sen30^\circ + \frac{100(0,03)^2}{2}= \frac{v^2}{2} + \frac{100(0,05)^2}{2}[/tex3]
[tex3]\frac{0,8}{2} + \frac{0,09}{2} =\frac{v^2}{2} + \frac{0,25}{2}[/tex3]
[tex3]0,8+0,09=v^2+0,25[/tex3]
[tex3]v^2=0,64[/tex3]
[tex3]v=0,8\text{ m/s}[/tex3]

Marcelo Rossato
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O ponto de equilibrio do [tex3]MHS[/tex3] se dá quando [tex3]Fr = 0[/tex3], logo,

[tex3]mgsen30^\circ = kx[/tex3],

Adotando [tex3]g = 10\text{ m/s^2}[/tex3], temos :

[tex3]\frac{1.10.1}{2} = 100.x[/tex3]

[tex3]x =\frac{1}{20}[/tex3].

Sabe-se que num [tex3]MHS[/tex3] os extremos têm distâncias iguais do ponto de equilbrio. Chamaremo-na de [tex3]A[/tex3].

Sendo [tex3]W[/tex3] a compressão da mola no ponto mais alto. Pelo enunciado, [tex3]|kW| = 3[/tex3]

Adotando [tex3]W[/tex3] positivo, temos que [tex3]W =\frac{3}{100}[/tex3]

Contudo, [tex3]W = A-x[/tex3]

[tex3]\frac{3}{100} = A - \frac{5}{100}[/tex3]

[tex3]A =\frac{8}{100}=\frac{2}{25}[/tex3]

Pela conservação de energia, tomando o ponto de equilibrio como referencial, temos:

[tex3]\frac{kW^2}{2} + mg.A.sen30^\circ =\frac{kx^2}{2} + \frac{mv^2}{2}[/tex3]

[tex3]\frac{\frac{9}{100}.1}{2} + 10.\frac{8}{100}.\frac{1}{2} = \frac{1}{4}.\frac{1}{2} + v^2.\frac{1}{2}[/tex3]

[tex3]\frac{89}{100} =\frac{1}{4} + v^2[/tex3]

[tex3]v^2 =\frac{64}{100}[/tex3]

[tex3]v =\frac{8}{10}[/tex3]

Alternativa B

Lucas Renan

[Radius]

foi o desenho que nos induziu ao erro, ai ai...

agora sim fechou.

[aleixoreis]

É isso aí.
[] 's.