Ensino Médio ⇒ Expressões Trigonométricas no Triângulo Tópico resolvido

[theblackmamba]

Demonstrar que é isósceles o triângulo ABC cujos ângulos A e B verificam a relação:

[tex3]\sin\frac{A}{2}\cdot \cos^3\frac{B}{2}=\sin\frac{B}{2}\cdot \cos^3\frac{A}{2}[/tex3]

[emanuel9393MOD]

Senti que esse desafio é para mim...
Pois não! Aceitarei com honra!
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Por se tratar de ângulos internos, temos as seguintes relações:
[tex3]1) \,\,\,\, A \, + \, B \, + \, C \, = \, \pi \,\,\, \Rightarrow \,\,\, B \, + \, C \, = \, \pi \, - \, A \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \begin{cases}\sin \left(B \, + \, C\right) \, = \, \sin A \\ \cos \, \left(B \, + \, C\right) \, = \, - \, \cos A\end{cases} \\ \\ \\ 2) \,\,\,\,\,A \, + \, B \, + \, C \, = \, \pi \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \frac{B \, + \, C}{2} \, = \, \frac{\pi}{2} \, - \, \frac{A}{2} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \begin{cases}\sin \left(\frac{B \, + \, C}{2}\right) \, = \, \cos \frac{A}{2} \\ \cos \, \left(\frac{B \, + \, C}{2}\right) \, = \, \sin \frac{A}{2}\end{cases}[/tex3]
A partir desses recursos, podemos partir diretamente para a relação dada:
[tex3]\sin \frac{A}{2} \cdot \cos^{3} \frac{B}{2} \, = \, \sin \frac{B}{2} \cdot \cos^{3} \frac{A}{2} \,\,\, \Rightarrow \\ \\ \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \cos \left(\frac{B \, + \, C}{2}\right) \cdot \cos^{3} \left(\frac{B}{2}\right) \, = \, \cos \left(\frac{A \, + \, C}{2}\right) \cdot \cos^{3} \left(\frac{A}{2}\right) \\ \\ \\ \cancel{\cos \left(\frac{B \, + \, C}{2}\right)} \cdot \cancel{\cos \left(\frac{A \, + \, C}{2}\right)} \cdot \cos^{2} \left(\frac{B}{2}\right) = \cos \cancel{\left(\frac{A \, + \, C}{2}\right)} \cdot \cancel{\cos \left(\frac{B \, + \, C}{2}\right)} \cdot \\ \\ \\ \cdot \cos^{2}\left(\frac{A}{2}\right) \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \cos^{2} \left(\frac{B}{2}\right) \, = \, \cos^{2} \left(\frac{A}{2}\right) \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \boxed{|\cos A| \, = \, |\cos B|}[/tex3]
Concluímos que dois ângulos desse triângulo são congruos. Com isso:
[tex3]\boxed{\boxed{A = B}}[/tex3]
Acredito que seja isso.
Um abraço!

[emanuel9393MOD]

Eu também utilizei os seguintes recursos:
[tex3]3) \,\,\,\,\,A \, + \, B \, + \, C \, = \, \pi \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \frac{A \, + \, C}{2} \, = \, \frac{\pi}{2} \, - \, \frac{B}{2} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \begin{cases}\sin \left(\frac{A \, + \, C}{2}\right) \, = \, \cos \frac{B}{2} \\ \cos \, \left(\frac{A \, + \, C}{2}\right) \, = \, \sin \frac{B}{2}\end{cases} \\ \\ \\ 4) \,\,\,\,\,A \, + \, B \, + \, C \, = \, \pi \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \frac{A \, + \, B}{2} \, = \, \frac{\pi}{2} \, - \, \frac{C}{2} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \begin{cases}\sin \left(\frac{A \, + \, B}{2}\right) \, = \, \cos \frac{C}{2} \\ \cos \, \left(\frac{A \, + \, B}{2}\right) \, = \, \sin \frac{C}{2}\end{cases}[/tex3]
Espero que tenha sido claro .
Um abraço!

[theblackmamba]

Valeu emanuel!

Grande abraço.!!

[democlisrocha]

Senti que esse desafio é para mim...
Pois não! Aceitarei com honra!
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Por se tratar de ângulos internos, temos as seguintes relações:
[tex3]1) \,\,\,\, A \, + \, B \, + \, C \, = \, \pi \,\,\, \Rightarrow \,\,\, B \, + \, C \, = \, \pi \, - \, A \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \begin{cases}\sin \left(B \, + \, C\right) \, = \, \sin A \\ \cos \, \left(B \, + \, C\right) \, = \, - \, \cos A\end{cases} \\ \\ \\ 2) \,\,\,\,\,A \, + \, B \, + \, C \, = \, \pi \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \frac{B \, + \, C}{2} \, = \, \frac{\pi}{2} \, - \, \frac{A}{2} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \begin{cases}\sin \left(\frac{B \, + \, C}{2}\right) \, = \, \cos \frac{A}{2} \\ \cos \, \left(\frac{B \, + \, C}{2}\right) \, = \, \sin \frac{A}{2}\end{cases}[/tex3]
A partir desses recursos, podemos partir diretamente para a relação dada:
[tex3]\sin \frac{A}{2} \cdot \cos^{3} \frac{B}{2} \, = \, \sin \frac{B}{2} \cdot \cos^{3} \frac{A}{2} \,\,\, \Rightarrow \\ \\ \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \cos \left(\frac{B \, + \, C}{2}\right) \cdot \cos^{3} \left(\frac{B}{2}\right) \, = \, \cos \left(\frac{A \, + \, C}{2}\right) \cdot \cos^{3} \left(\frac{A}{2}\right) \\ \\ \\ \cancel{\cos \left(\frac{B \, + \, C}{2}\right)} \cdot \cancel{\cos \left(\frac{A \, + \, C}{2}\right)} \cdot \cos^{2} \left(\frac{B}{2}\right) = \cos \cancel{\left(\frac{A \, + \, C}{2}\right)} \cdot \cancel{\cos \left(\frac{B \, + \, C}{2}\right)} \cdot \\ \\ \\ \cdot \cos^{2}\left(\frac{A}{2}\right) \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \cos^{2} \left(\frac{B}{2}\right) \, = \, \cos^{2} \left(\frac{A}{2}\right) \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \boxed{|\cos A| \, = \, |\cos B|}[/tex3]
Concluímos que dois ângulos desse triângulo são congruos. Com isso:
[tex3]\boxed{\boxed{A = B}}[/tex3]
Acredito que seja isso.
Um abraço!

Em um determinado momento da sua resolução você substituiu [tex3]\cos\left(\frac{B}{2}\right)$[/tex3] por [tex3]\cos \left( \dfrac{A+C}{2}\right)[/tex3]. Mas, da forma como você mesmo explicou, deveríamos ter [tex3]\cos\left(\frac{B}{2}\right) = \sin \left(\frac{A \, + \, C}{2}\right)$[/tex3] ... Assista ao vídeo que fiz com a resolução dessa questão https://www.youtube.com/watch?v=NtcJT6_jyhA

[emanuel9393MOD]

Olá, democlisrocha!

Você tem razão. Farei as modificações necessárias.

Grande abraço!