IME / ITA ⇒ (AMAN - 1998) Expressões Trigonométricas no Triângulo Tópico resolvido

[theblackmamba]

Os ângulos [tex3]\alpha,\beta[/tex3] e [tex3]\theta[/tex3] de um triângulo satisfazem a equação:

[tex3](\sin\alpha +\sin\beta+\sin\theta)\cdot (\sin\alpha+\sin\beta-\sin\theta)=3\sin\alpha\cdot \sin\beta[/tex3]

Determine a medida do ângulo [tex3]\theta[/tex3], em radianos.

Resposta

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[tex3]\theta=\frac{\pi}{3}[/tex3]

[Juniorsjc]

Para responder essa questão devemos lembrar das seguintes relações:

[tex3]\sen a + senb = 2\sen \left(\frac{a+b}{2}\right)\cos \left(\frac{a-b}{2}\right)[/tex3]

[tex3]\sen a - senb = 2\cos \left(\frac{a+b}{2}\right)\sen \left(\frac{a-b}{2}\right)[/tex3]

[tex3]\sen (90-x) = \cos x [/tex3]
[tex3]\cos (90-x) = \sen x [/tex3]

Vamos primeiro trabalhar com a parcela [tex3](\sen\alpha +\sen\beta+\sen\theta)[/tex3]
[tex3](\sen\alpha +\sen\beta+\sen\theta) \rightarrow \\([\sen\alpha +\sen\beta]+\sen\theta) \rightarrow \\ 2\sen \left(\frac{\alpha +\beta}{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha -\beta}{2}\right) + \sen \theta[/tex3]

Só que como [tex3]\alpha, \beta \ e \ \theta[/tex3] são ângulos de um triângulo, podemos dizer:

[tex3]\alpha = 180 - (\theta +\beta)[/tex3] e [tex3]\alpha + \beta = 180 - \theta[/tex3]
Assim, ficamos com:

[tex3]2\sen \left(\frac{\alpha +\beta}{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha -\beta}{2}\right) + \sen \theta \rightarrow \\ 2\sen \left(\frac{180 - \theta}{2}\right)\cos \left(\frac{180 - (\theta +2\beta)}{2}\right) + \sen \theta \rightarrow \\ 2\sen \left(90 - \frac{\theta}{2}\right)\cos \left(90 - \frac{(\theta +2\beta)}{2}\right) + \sen \theta \rightarrow \\ 2\cos \left(\frac{\theta}{2}\right)\sen \left(\frac{\theta +2\beta}{2}\right) + \sen \theta \rightarrow 2\cos \left(\frac{\theta}{2}\right)\sen \left(\frac{\theta +2\beta}{2}\right) + 2\sen \left(\frac{\theta}{2}\right)\cos \left(\frac{\theta}{2}\right) \rightarrow \\ 2\cos \left(\frac{\theta}{2}\right)\[\sen \left(\frac{\theta +2\beta}{2}\right) + \sen \left(\frac{\theta}{2}\right)\]
= 4\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)\sen \left(\frac{\theta +\beta}{2}\right)\cos \left(\frac{\beta}{2}\right)[/tex3]

Desenvolvendo o mesmo racíocinio para a outra parcela [tex3](\sen\alpha+\sen\beta-\sen\theta)[/tex3], vamos chegar a seguinte parte:
[tex3]2\cos \left(\frac{\theta}{2}\right)\[\sen \left(\frac{\theta +2\beta}{2}\right) - \sen \left(\frac{\theta}{2}\right)\][/tex3]

Que nos dará:
[tex3](\sen\alpha+\sen\beta-\sen\theta) = 4\cos \left(\frac{\theta}{2}\right)\sen \left(\frac{\beta}{2}\right)\cos \left(\frac{\theta + \beta}{2}\right)[/tex3]

Multiplicando as duas parcelas ficamos com:
[tex3]4\cos \left(\frac{\theta }{2})\sen \left(\frac{\theta +\beta}{2}\right)\cos \left(\frac{\beta}{2}\right)\cdot4\cos \left(\frac{\theta}{2}\right)\sen \left(\frac{\beta}{2}\right)\cos \left(\frac{\theta + \beta}{2}\right) \\ = 16\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right)\sen \left(\frac{\theta +\beta}{2}\right)\cos \left(\frac{\beta}{2}\right)\right)\sen \left(\frac{\beta}{2}\right)\cos \left(\frac{\theta + \beta}{2}\right) \\ = 4\cos^2\left(\frac{\theta }{2}\right)\sen (\theta + \beta)\sen \beta[/tex3]

Sabemos que [tex3]\sen (\theta + \beta) = \sen \alpha[/tex3]
Então, fazendo essa troca e igualando a expressão a identidade fornecida, temos:
[tex3]4\cos^2\left(\frac{\theta }{2}\right)\sen \alpha \cdot \sen \beta = 3\sen\alpha\cdot \sen\beta \\ = 4\cos^2\left(\frac{\theta }{2}\right) = 3 \rightarrow \\ \cos \left(\frac{\theta }{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]
Consideramos apenas o resultado positivo do cosseno pois [tex3]\left(\frac{\theta }{2}\right)[/tex3] tem que pertecer ao primeiro quadrante.

É fácil ver então que
[tex3]\frac{\theta }{2} = \frac{\pi }{6} \rightarrow \boxed {\boxed {\theta = \frac{\pi }{3}}}[/tex3]

Omiti algumas partes do desenvolvimento pois tava ficando cansativo pra mim. xD
Mas espero que tenha dado pra entender a essência do problema.
Também não sei se esse é o jeito mais prático, mas foi o jeito que consegui. xD

Abraços.

[fabit]

Responderam antes de mim. Mas agora que já rascunhei tudo, não vou jogar fora o trabalho que tive, certo?

Eu usei o seguinte: [tex3]\theta=\pi-(\alpha+\beta)\Rightarrow\begin{cases}\cos\theta=-\cos(\alpha+\beta)=-(\cos\alpha\cos\beta-\sin\beta\sin\alpha)\\\sin\theta=\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha\end{cases}[/tex3].

Vamos lá: tratando o lado esquerdo como produto de uma soma pela respectiva diferença (=diferença dos dois quadrados)...

[tex3](\sin\alpha+\sin\beta)^2-\sin^2\theta=3\sin\alpha\sin\beta[/tex3]

[tex3]\sin^2\alpha+2\sin\alpha\sin\beta+\sin^2\beta-\sin^2(\alpha+\beta)=3\sin\alpha\sin\beta[/tex3]

[tex3]\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\sin\alpha\sin\beta+(\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha)^2[/tex3]

[tex3]\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\sin\alpha\sin\beta+\sin^2\alpha\cos^2\beta+2\sin\alpha\cos\alpha\sin\beta\cos\beta+\sin^2\beta\cos^2\alpha[/tex3]

Aí, onde houver cosseno ao quadrado, troca por 1-seno ao quadrado e isso conduz a ...
[tex3]2\sin^2\alpha\sin^2\beta=\sin\alpha\sin\beta+2\sin\alpha\cos\alpha\sin\beta\cos\beta[/tex3]

Como nenhum seno é nulo (do contrário não há triângulo), fica...
[tex3]2\sin\alpha\sin\beta=1+2\cos\alpha\cos\beta[/tex3]

Dividindo por 2 e deixando o 1 sozinho, fica [tex3]\sin\alpha\sin\beta-\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[/tex3]

Logo [tex3]\cos\theta=\frac{1}{2}\Rightarrow\theta=\frac{\pi}{3}[/tex3]