Ensino Médio ⇒ Aritmética - Números Ímpares Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Calcule a soma dos quadrados dos números ímpares compreendidos entre [tex3]14[/tex3] e [tex3]366[/tex3].

(A) [tex3]7024260[/tex3]
(B) [tex3]7150767[/tex3]
(C) [tex3]8657580[/tex3]
(D) [tex3]8793161[/tex3]
(E) [tex3]8854339[/tex3]

[theblackmamba]

Olá ALDRIN,

Veja este link: viewtopic.php?t=20196?hilit=formulas%20mariares#p50334

[tex3]\sum_{k=1}^n(2k-1)^2={2n+1 \choose 3}[/tex3]

O primeiro termo ímpar é 15 e o último é 365 neste intervalo.

Logo,
[tex3]\sum_{k=8}^{183}(2k-1)^2=15^2+17^2+...+365^2=\sum_{k=1}^{183}(2k-1)^2-\sum_{k=1}^{7}(2k-1)^2[/tex3]
[tex3]\sum_{k=8}^{183}(2k-1)^2={367 \choose 3}-{15\choose 3}[/tex3]
[tex3]\sum_{k=8}^{183}(2k-1)^2=\frac{367\cdot 366\cdot 365}{6}-\frac{15\cdot 14\cdot 13}{6}[/tex3]
[tex3]\boxed{\sum_{k=8}^{183}(2k-1)^2=8170800}[/tex3]

Não encontrei nenhuma das alternativas, mas é por aí. Devo ter errado alguma coisa que não estou enxergando.

ABraço!

[Vinícius]

[tex3]$\[\sum_{k=1}^{176}(2k+13)^2=4\sum_{k=1}^{176} k^2+52\sum_{k=1}^{176} k+\sum_{k=1}^{176} 169\]\[\sum_{k=1}^{176}(2k+13)^2=4\cdot \frac{176\cdot(176+1)\cdot (2\cdot 176+1)}{6}+52\cdot\frac{176\cdot(176+1)}{2}+169\cdot 176\]\[\sum_{k=1}^{176}(2k+13)^2=7\,331\,104+809\,952+29\,744\]\[\boxed{\sum_{k=1}^{176}(2k+13)^2=8\,170\,800}\][/tex3]

Confirmação do resultado (ver "output"):

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