IME/ITA ⇒ (ITA - 2009) Cinemática/Mecânica Tópico resolvido

[Juniorsjc]

Num filme de ficção, um foguete de massa m segue uma estacão espacial, dela aproximando-se com aceleração relativa a. Para reduzir o impacto do acoplamento, na estação existe uma mola de comprimento L e constante k. Calcule a deformação máxima sofrida pela mola durante o acoplamento sabendo-se que o foguete alcaçou a mesma velocidade da estação quando dela se aproximou de uma certa distância d > L, por hipótese em sua mesma órbita.

Resposta

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[tex3]x = \sqrt{\frac{2am(d-L)}{k}\cdot}\sqrt{\frac{1}{1+\frac{m}{M}}}[/tex3]

Não consigo entender muito bem a sacada dessa questão, se alguém poder ajudar...
Valeu.

[gabrielbpf]

Olá, cara!

Dei uma olhada no gabarito, aí resolvi ir atrás da questão na internet... Acredito que há um erro no gabarito que você postou, mas vamos lá:

O foguete se movimenta com velocidade [tex3]v[/tex3] e a estação com velocidade [tex3]v'[/tex3]. Vamos assumir que ambos se movimentavam no mesmo sentido, o que implica em uma velocidade relativa de aproximação tal que [tex3]v_r=v-v'[/tex3].

Essa velocidade se altera com aceleração [tex3]a[/tex3], pois esta já é uma aceleração relativa, segundo o enunciado... Isso nos dá a possibilidade de trabalhar justamente os termos relativos...

No exato momento em que as velocidades se igualam, a velocidade relativa é nula, pois [tex3]v=v'\therefore v-v'=0=v_r[/tex3], então vamos adotar esse momento como a referência para nossas equações... Nele, os corpos estão em repouso, em relação um ao outro!

Assim, podemos aplicar a equação de Torriceli, tomando como referencial não-inercial a estação:

[tex3]v^2=v_0^2+2a\delta S\therefore v_r^2=2a(d-L)[/tex3]

Essa é a velocidade, relativa à estação, com a qual o foguete chega no ponto de contato com a mola. Basta então sabermos que a energia mecânica será conservada!

Tomando como referencial o infinito, a energia potencial gravitacional é nula, então a mecânica, exatamente antes do contato com a mola será numericamente igual à cinética.

Depois, em contato com a mola, esta será comprimida, impondo ao corpo uma desaceleração que acabará por anular sua velocidade, tornando sua energia mecânica completamente um potencial elástico:

[tex3]E_{mc}=k\therefore \frac{mv^2}{2}=\frac{k\Delta x^2}{2} \\ \\ \Delta x=\sqrt\frac{mv^2}{k}\therefore \Delta x=\sqrt\frac{2am\cdot (d-L)}{k}[/tex3]

Bom, posso estar enganado, mas acho que a resposta é essa...
Espero, mesmo sem a certeza, tê-lo ajudado!

Abraços!

[theblackmamba]

Olá a todos,

Tem alguns gabaritos que consideraram a massa da estação como [tex3]M[/tex3].

Pela conservação do momento linear:
[tex3]mv_r=(M+m)V[/tex3]
[tex3]V=\frac{mv_r}{M+m}[/tex3]

Como dito há a conservação da energia mecânica do sistema:

[tex3]\frac{1}{2}mv_r^2=\frac{1}{2}(M+m)V^2+\frac{1}{2}kx^2[/tex3]
[tex3]2am(d-L)=\cancel{(M+m)}\cdot \frac{m^2}{(M+m)^{\cancel{2}}}\cdot 2a(d-L)+kx^2[/tex3]
[tex3]2am(d-L)\cdot \left[1-\frac{m}{M+m}\right]=kx^2[/tex3]
[tex3]\boxed{x=\sqrt{\frac{2am(d-L)}{k}}\cdot \sqrt{\frac{1}{1+\frac{m}{M}}}}[/tex3]

Gabriel sua resposta está correta pois o enunciado não explicita os tamanhos dos corpos, sendo assim podemos considerar [tex3]M>>m[/tex3] e a equação se reduzirá a sua.

Um abraço!

[Juniorsjc]

Muito obrigado a todos pelas soluções.

Abraços.