Pré-Vestibular ⇒ (UFGD - 2011) Álgebra Tópico resolvido

[adlernobre]

Os valores reais de [tex3]A[/tex3], [tex3]B[/tex3], e [tex3]C[/tex3] fazem a igualdade da equação

[tex3]\frac{1}{(x-1)(x-2)(x-3)} = \frac{A}{(x-1)}+\frac{B}{(x-2)}+\frac{C}{(x-3)}[/tex3]

com [tex3]x[/tex3] diferente de [tex3]1[/tex3], [tex3]2[/tex3] e [tex3]3[/tex3]. Qual o valor de [tex3]A + B + C[/tex3]?

a) [tex3]-2[/tex3]
b) [tex3]-1[/tex3]
c) [tex3]0[/tex3]
d) [tex3]1[/tex3]
e) [tex3]2[/tex3]

ATENÇÃO!= Quando fiz essa questão, substitui o x por 4, e fui resolvendo até que cheguei nos valores A= -1, B= +3 e C=-1, o que, coincidentemente, ou não, realmente iguala a equação, como o enunciado pede. Contudo, na soma A+B+C, a resposta fica igual a 1 (letra "d), o que pelo gabarito, vemos que está errado. Eis a questão, essa solução que atingi é um segunda que os professores não levaram em conta, o que possivelmente caberia recurso ao gabarito? Obrigado!.

Resposta

---

Gabarito: letra "C"

[VALDECIRTOZZI]

Fazendo as substituições que você diz;

[tex3]\frac{1}{(4-1)(4-2)(4-3)} = \frac{(-1)}{(4-1)}+\frac{3}{(4-2)}+\frac{1}{(4-3)}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{3 \ . 2 \ . 1}=-\frac{1}{3}\ +\frac{3}{2}+\frac{1}{1}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{6}=\frac{-2+9+6}{6}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{6}=\frac{13}{6}[/tex3] o que é FALSO!

E no seu caso, a soma [tex3]A+B+C=-1+3+1=3[/tex3] e não [tex3]1[/tex3]

[adlernobre]

Opa, VALDECIRTOZZI! Estava digitado errado lá. Os resultados que encontrei são na verdade A= -1, B= +3 e C=-1! (-1+3-1= +1).

Fazendo as substituições que você diz;

[tex3]\frac{1}{(4-1)(4-2)(4-3)} = \frac{(-1)}{(4-1)}+\frac{3}{(4-2)}+\frac{1}{(4-3)}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{3 \ . 2 \ . 1}=-\frac{1}{3}\ +\frac{3}{2}+\frac{1}{1}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{6}=\frac{-2+9+6}{6}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{6}=\frac{13}{6}[/tex3] o que é FALSO!

E no seu caso, a soma [tex3]A+B+C=-1+3+1=3[/tex3] e não [tex3]1[/tex3]

[adrianotavares]

Olá,adlernobre.

Vamos resolver utilizando a identidade de polinômios.

[tex3]\frac{1}{(x-1)(x-2)(x-3)}=\frac{A(x-2)(x-3)+B(x-1)(x-3)+C(x-1)(x-2)}{(x-1)(x-2)x-3)}[/tex3]

Desenvolvendo e agrupando os teremos semelhantes teremos::

[tex3]A+B+C=0[/tex3]

[tex3]5A+4B+3C=0[/tex3]

[tex3]A+3B+2C=1[/tex3]

Alternativa:C

[adlernobre]

Olá, adrianotavares. Minha dúvida não está nesse ponto, como você pode ver em leitura a nota que transcrevi abaixo do exercício. Ajude-me a saber se a resolução a que cheguei (de modo alternativo) também está correta!

Olá,adlernobre.

Vamos resolver utilizando a identidade de polinômios.

[tex3]\frac{1}{(x-1)(x-2)(x-3)}=\frac{A(x-2)(x-3)+B(x-1)(x-3)+C(x-1)(x-2)}{(x-1)(x-2)x-3)}[/tex3]

Desenvolvendo e agrupando os teremos semelhantes teremos::

[tex3]A+B+C=0[/tex3]

[tex3]5A+4B+3C=0[/tex3]

[tex3]A+3B+2C=1[/tex3]

Alternativa:C