Física I ⇒ Cinemática - Queda Livre / Velocidade do Som Tópico resolvido

[theblackmamba]

O som do choque de uma pedra que cai em um poço, sem velocidade inicial, ouve-se depois de [tex3]\text{t}[/tex3] segundos de ter sido largada. Achar a profundidade [tex3]\text{h}[/tex3] do poço, sabendo que a velocidade do som no ar é [tex3]v_s[/tex3] e que a aceleração da gravidade é [tex3]\text{g}[/tex3].

[tex3]a)\,\,h=\frac{v_s}{g}\cdot\(v_s+gt-\sqrt{v_s^2-2v_s gt}\)[/tex3]
[tex3]b)\,\,h=\frac{v_s}{g}\cdot \(v_s+gt+\sqrt{v_s^2-2v_s gt}\)[/tex3]
[tex3]c)\,\,h=\frac{v_s}{g}\cdot\(v_s+gt-\sqrt{v_s^2+2v_s gt}\)[/tex3]
[tex3]d)\,\,h=\frac{v_s}{g}\cdot\(v_s-\sqrt{v_s^2+2v_sgt}\)[/tex3]
[tex3]e)\,\,h=\frac{v_s}{g}\cdot\(gt-\sqrt{v_s^2+2v_s gt}\)[/tex3]

[Radius]

Seja [tex3]c[/tex3] a velocidade do som. O primeiro tempo que a pedra cai da altura é:

[tex3]h=gt_1^2/2 \\ \\ \boxed{t_1=\sqrt{\frac{2h}{g}}}[/tex3]

o tempo que o som leva para "subir" a altura é:

[tex3]h=ct_2 \\ \\ \boxed{t_2=\frac{h}{c}}[/tex3]

Logo

[tex3]t_1+t_2=t \\ \\ \sqrt{\frac{2h}{g}}=t-\frac{h}{c} \\ \\ \frac{2h}{g}=t^2-\frac{2ht}{c}+\frac{h^2}{c^2} \\ \\ \frac{h^2}{c^2}-2h\left(\frac{t}{c}+\frac{1}{g}\right)+t^2=0 \\ \\ h^2-2h\left(ct+\frac{c^2}{g}\right)+c^2t^2=0[/tex3]

usando baskara vamos chegar em:

[tex3]h=\left(ct+\frac{c^2}{g}\right)\pm \sqrt{\left(ct+\frac{c^2}{g}\right)^2-c^2t^2}[/tex3]

vou omitir as simplificações dessa conta, essa baskara irá se reduzir a:

[tex3]h=\frac{c}{g}\cdot(c+gt\pm \sqrt{c^2+2c gt})[/tex3]

como a raiz é maior que o lado direito temos que tirar o sinal de menos e ficamos com:

[tex3]\boxed{h=\frac{c}{g}\cdot(c+gt+ \sqrt{c^2+2c gt})}[/tex3]

não cheguei em nenhuma alternativa. o que que eu fiz?

[theblackmamba]

Olá Radius,

Como você deduziu que a raíz é maior que o lado direito ?
ABraço!

[FilipeCaceres]

Grande theblackmamba,

O início é simples,

Para descida temos,
[tex3]S=S_0+V_o\cdot t +\frac{gt_d^2}{2}[/tex3]
[tex3]h=\frac{gt_d^2}{2}\hspace{20pt}(1)[/tex3]

Para o retorno do som temos,
[tex3]h=v_s\cdot t_s\hspace{20pt}(2)[/tex3]

A a relação de tempo,
[tex3]t_d+t_s=t\hspace{20pt}(3)[/tex3]

Uma relação para a altura é
[tex3]h=v_s(t-t_d)[/tex3]

Desta forma basta encontrar [tex3]t_d[/tex3] de [tex3](1),(2)\,\,e\,\,(3)[/tex3] temos,
[tex3]\frac{gt_d^2}{2}=v_s\cdot (t-t_d)[/tex3]
[tex3]gt_d^2+2v_s\cdot t_d-2v_s\cdot t=0[/tex3]
[tex3]t_d=\frac{-2v_s\pm \sqrt{4v_s^2+8g\cdot v_s\cdot t}}{2g}[/tex3]
[tex3]t_d=\frac{-v_s\pm \sqrt{v_s^2+2g\cdot v_s\cdot t}}{g}[/tex3]

Mas como [tex3]t_d[/tex3] é positivo
[tex3]t_d=\frac{-v_s+ \sqrt{v_s^2+2g\cdot v_s\cdot t}}{g}[/tex3]

Substituindo na relação da altura,
[tex3]h=v_s\left[t-\left(\frac{-v_s+ \sqrt{v_s^2+2g\cdot v_s\cdot t}}{g}\right) \right][/tex3]
[tex3]\boxed{h=\frac{v_s}{g}\cdot (v_s+gt- \sqrt{v_s^2+2g\cdot v_s\cdot t})}[/tex3]. Letra C

Abraço.

[Radius]

Olá Radius,

Como você deduziu que a raíz é maior que o lado direito ?
ABraço!

Eu fiz besteira, mesmo. O que está me encucando é que, da equação

[tex3]h^2-2h\left(ct+\frac{c^2}{g}\right)+c^2t^2=0[/tex3]

por báskara vamos chegar em

[tex3]h=\frac{c}{g}\cdot(c+gt\pm \sqrt{c^2+2c gt})[/tex3]

e daqui eu não sei seu utilizo o + ou o - . Como saber qual é o correto para determinar a altura correta?

[FilipeCaceres]

Olá Radius,

Utilize a condição inicial, ou seja, em [tex3]t=0[/tex3] temos [tex3]h=0[/tex3]. Para que isso seja verdade devemos ter

[tex3]\boxed{h=\frac{c}{g}\cdot\(c+gt- \sqrt{c^2+2c gt}\)}[/tex3]

Abraço.

[Radius]

hahahahaha,

hahahahahahahahahahaha. Gostei.

E tem algum significado físico a outra raiz?

[FilipeCaceres]

A outra raiz surgiu ao elevar ao quadrado ambos lados,por isso a importância de verificar o resultado com a condição inicial.
Como resultado poderíamos dizer que em [tex3]h=0[/tex3] o tempo não seria zero mas sim um valor negativo, o que é um absurdo.

Abraço.