Olimpíadas ⇒ (Bulgária) Funções Trigonométricas Tópico resolvido

[theblackmamba]

Para todo número real [tex3]b[/tex3], seja [tex3]f(b)[/tex3] o valor máximo da função

[tex3]\left|\sen x+\frac{2}{3+\sen x}+b\right|[/tex3]

para todo [tex3]x\,\,\in\,\,\mathbb{R}[/tex3]. Determine o valor mínimo de [tex3]f(b)[/tex3] para todo [tex3]b\,\,\in\,\,\mathbb{R}[/tex3].

Resposta

---

[tex3]\frac{3}{4}[/tex3]

[FelipeMartinMOD]

[tex3]f(x) = \left|\sin x+\frac{2}{3+\sin x}+b\right|[/tex3]

Primeiro note que [tex3]3+\sin x+\frac{2}{3+\sin x} \geq 2\sqrt2[/tex3] pela desigualdade das médias.

Então, [tex3]b + \sin x+\frac{2}{3+\sin x} \geq b -3 + 2\sqrt2[/tex3] significa que nossa expressão será sempre positiva para [tex3]b > 3-2\sqrt2[/tex3]

e neste intervalo, não precisamos do módulo:

[tex3]f(x) = \sen x + \frac2{3+\sen x} + b \implies f'(x) = \cos (x) - 2 \frac{\cos(x)}{(3+\sin(x))^2}[/tex3], daí:

[tex3]f'(x) =0 \implies \cos(x) =0 \implies x = \frac{\pi}2 + k\pi, k \in \mathbb Z[/tex3] ou [tex3]1-\frac2{(3+\sin(x))^2} = 0 \implies 3+\sin (x) = \pm \sqrt 2[/tex3] que dão absurdos.

Daí, conclui-se facilmente que o valor máximo de [tex3]f(x)[/tex3] para [tex3]b\geq 3-2\sqrt2[/tex3] é [tex3]b +\frac32[/tex3], no nosso intervalo, o valor mínimo é [tex3]\frac32 + 3 - 2\sqrt2 = \frac92 -2\sqrt2 > 0[/tex3].

O máximo do módulo de alguma coisa ocorre ou no máximo da própria coisa ou no mínimo da mesma a depender do sinal dela.

Mas de forma geral, já vimos que os extremos de [tex3]\sen (x) + \frac{2}{3+\sen(x)} [/tex3] ocorrem para [tex3]x = \frac{\pi}2 + k\pi[/tex3], ou seja, [tex3]\sen (x) = \pm 1[/tex3] os máximos da nossa expressão são: [tex3]\frac32 + b[/tex3] e os mínimos [tex3]b[/tex3].

Se [tex3]b \geq 0[/tex3], o máximo será [tex3]\frac32 + b[/tex3], logo, para [tex3]b = 0 \implies[/tex3] o mínimo de [tex3]f(b) = \frac32[/tex3] para [tex3]b \geq 0[/tex3].

Se [tex3]-\frac 32 \leq b \leq 0[/tex3], temos que ver quando [tex3]\frac 32 + b \ge -b \implies b \ge -\frac34[/tex3]. Se [tex3]-\frac34 \leq b \leq 0[/tex3], teremos que o máximo é [tex3]\frac32 + b[/tex3], logo, o menor valor de [tex3]f[/tex3] para [tex3]b \geq -\frac34[/tex3] é [tex3]\frac34[/tex3].

Quando [tex3]b < -\frac 34[/tex3], o valor máximo da nossa expressão é [tex3]|b| > \frac34[/tex3].

A resposta desejada então é [tex3]\frac34[/tex3] e ocorre para [tex3]b = -\frac34[/tex3].