Ensino Médio ⇒ Geometria Plana - Área Máxima Tópico resolvido

[cicero444]

Um muro, com 6 metros de comprimento, será aproveitado como parte de um dos lados do cercado retangular que certo criador precisa construir. Para completar o contorno desse cercado o criador usará 34 metros de cerca. Determine as dimensões do cercado retangular de maior área possível que o criador poderá construir.

[jrneliodias]

Olá, Cicero444.

Ilustremos a situação:

as.png (4.21 KiB) Exibido 9299 vezes

Temos o cercado retangular, cujas dimensões são [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3]. A parte mais escura é o muro aproveitando, cujo comprimento é [tex3]6\,m[/tex3], logo [tex3]x=6\,m[/tex3].

A geometria euclidiana nos fala que o perimetro é a soma de todos os lados e a área, de uma figura retangular, é o produto do comprimento e a largura. Com isso, podemos esboçar o seguinte sistema:

[tex3]\begin{cases}2x+2y=34\cdots\text{(I)}\\x\cdot y=\text{A}_{max}\cdots\text{(II)}\end{cases}[/tex3]

De [tex3]\text{(I)}[/tex3] : [tex3]y=11[/tex3]

Substituindo em [tex3]\text{(II)}[/tex3] : [tex3]\text{A}_{max}=11\cdot6=\boxed{66\,m^2}[/tex3]

Espero ter ajudado, abraço.

[cicero444]

@cicero444

A resolução está incorreta..A cerca não abrange o muro portanto o perímetro será
2x+y = 34 portanto y = 34-2x
S=x.y = x(34-2x) = 34x-2x²
[tex3]x_v =\frac{34}{-2(-2)} =\frac{17}{2} = 8,5\\
\therefore y = 34-2(8,5)= 17\\
\boxed{S_{max} = 8,5\times17} [/tex3]