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Usando as propriedades das desigualdades determine um [tex3]\delta >0[/tex3] tal que a afirmativa "se [tex3]0<|x-a|<\delta[/tex3] então [tex3]|f(x)-L|<\epsilon[/tex3] seja verdeira para [tex3]\epsilon =0.005[/tex3] tal que [tex3]\lim_ {x \to3} x^2=9[/tex3]

Olá, vinimalheiros!

Temos:
[tex3]\lim_{x \to \, 3} x^{2} \, = \, 9 \,\,\, \Rightarrow \,\,\, | f\left(x\right) \, - \, 9| \, < \, 0,005 \\ \\ \,\,\, \Rightarrow \,\,\, 8,995 \, < \, f \left(x\right) \, < \, 9,005 \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \sqrt{8,995} \, < \, \sqrt{x^{2}} \, < \, \sqrt{9,005}[/tex3]
Como o enunciado considerou [tex3]\delta \, > \, 0[/tex3] não precisaremos considerar a parte negativa do módulo. Prosseguindo:
[tex3]\sqrt{8,995} \, < \, \sqrt{x^{2}} \, < \, \sqrt{9,005} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, 3 \, - \, 0,001 \, < \, x \, < \, 3 \, + \, 0,001[/tex3]
Podemos tomar então:
[tex3]\boxed{\boxed{\delta \, = \, 0,001}}[/tex3]

Um abraço!