Demonstrações ⇒ Altura e Alcance máximo

[FilipeCaceres]

Altura Máxima
Seja [tex3]H[/tex3] a altura máxima, [tex3]v_o[/tex3] a velocidade inicial, [tex3]g[/tex3] a aceleração da gravidade e [tex3]\theta[/tex3] o ângulo de lançamento. Aplicando na equação de Torricelli:

[tex3]v_y^2=v_{oy}^2-2g\Delta h[/tex3]
[tex3]0=(v_o\sen\theta)^2-2gH[/tex3]
[tex3]\boxed{H=\frac{v_o^2\cdot \sen^2\theta}{2g}}[/tex3]

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Alcance Máximo
Seja [tex3]A[/tex3] o alcance máxima, [tex3]v_o[/tex3] a velocidade inicial, [tex3]g[/tex3] a aceleração da gravidade e [tex3]\theta[/tex3] o ângulo de lançamento.

O tempo de vôo é igual ao tempo de subida mais o de descida, ambos valendo [tex3]t[/tex3].
[tex3]t_v=2\cdot t[/tex3]

Da equação da velocidade na vertical tiramos,
[tex3]v_y=v_{oy}-gt[/tex3]
[tex3]0=v_o\cdot \sen\theta -gt[/tex3]
[tex3]t=\frac{v_o\cdot \sen\theta}{g}[/tex3]

Na horizontal temos,
[tex3]A=v_x\cdot t_v[/tex3]
[tex3]A=v_o\cos \theta \cdot \frac{2\cdot v_o \sen\theta}{g}[/tex3]
[tex3]\boxed{A= \frac{ v_o^2 \cdot \sen2\theta}{g}}[/tex3]

Observações:
1. Ângulo do alcance máximo
O alcance será máximo quando [tex3]\sen 2\theta =1[/tex3]
[tex3]2\theta =90^{\circ}[/tex3]
[tex3]\boxed{\theta =45^{\circ}}[/tex3]

2. Ângulos complementares
Para uma mesma velocidade inicial o alcance será o mesmo se os ângulos forem complementares, ou seja, [tex3]\boxed{\alpha +\theta =90^{\circ}}[/tex3]. O que é verdade, pois
[tex3]A= \frac{ v_o^2 \cdot \sen2\alpha}{g}[/tex3]
[tex3]A= \frac{ v_o^2 \cdot \sen[2(90-\theta)]}{g}[/tex3]
[tex3]A= \frac{ v_o^2 \cdot \sen(180-2\theta)}{g}[/tex3]
[tex3]A= \frac{ v_o^2 \cdot \sen(2\theta)}{g}[/tex3], logo tem o mesmo alcance.